「関数」について
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公立 大阪市立大学 2011年 第3問$p,\ q$は正の実数で$p > q$とする．$x > 0$において，2つの関数
\[ f(x) = e^{px}+e^{-px},\quad g(x) = e^{qx}+e^{-qx} \]
を考える．次の問いに答えよ．
(1)$f(x) > 2$を示せ．
(2)$f(x) > g(x)$を示せ．
(3)$\displaystyle h(x) = \frac{f^{\, \prime}(x)-g^{\, \prime}(x)}{f(x)-g(x)}$とするとき，$h(x)$は$x > 0$において単調減少であることを示せ．
\[ f(x) = e^{px}+e^{-px},\quad g(x) = e^{qx}+e^{-qx} \]
を考える．次の問いに答えよ．
(1)$f(x) > 2$を示せ．
(2)$f(x) > g(x)$を示せ．
(3)$\displaystyle h(x) = \frac{f^{\, \prime}(x)-g^{\, \prime}(x)}{f(x)-g(x)}$とするとき，$h(x)$は$x > 0$において単調減少であることを示せ．
公立 兵庫県立大学 2011年 第3問関数$y=|x^2-6x+8| -2 \ (3 \leqq x \leqq 6)$について，次の問いに答えなさい．
(1)この関数のグラフを描きなさい．
(2)この関数の最大値，最小値と，そのときの$x$の値を求めなさい．
(1)この関数のグラフを描きなさい．
(2)この関数の最大値，最小値と，そのときの$x$の値を求めなさい．
公立 岡山県立大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\sqrt{n^2+27}$が整数であるような自然数$n$をすべて求めよ．
(2)$a$を実数とする．$x>0$で定義された連続関数$f(x)$が，すべての$x>0$に対して
\[ \int_1^x f(t) \, dt =(\log x)^2+a^3x-2a-4 \]
を満たすとき，$a$の値と$f(x)$を求めよ．
(1)$\sqrt{n^2+27}$が整数であるような自然数$n$をすべて求めよ．
(2)$a$を実数とする．$x>0$で定義された連続関数$f(x)$が，すべての$x>0$に対して
\[ \int_1^x f(t) \, dt =(\log x)^2+a^3x-2a-4 \]
を満たすとき，$a$の値と$f(x)$を求めよ．
公立 高知工科大学 2011年 第1問$a$を実数の定数とする．$2$つの関数$f(x)=x^2-ax+3$と$g(x)=x^2-(2a+1)x+a^2+a$について，次の各問に答えよ．
(1)すべての実数$x$について，$f(x) \geqq 0$が成り立つための条件を$a$を用いて表せ．
(2)$1 \leqq x \leqq 3$を満たすすべての実数$x$について，$f(x)>0$が成り立つための条件を$a$を用いて表せ．
(3)$g(x) \leqq 0$を満たすすべての実数$x$について，$f(x)>0$が成り立つための条件を$a$を用いて表せ．
(1)すべての実数$x$について，$f(x) \geqq 0$が成り立つための条件を$a$を用いて表せ．
(2)$1 \leqq x \leqq 3$を満たすすべての実数$x$について，$f(x)>0$が成り立つための条件を$a$を用いて表せ．
(3)$g(x) \leqq 0$を満たすすべての実数$x$について，$f(x)>0$が成り立つための条件を$a$を用いて表せ．
公立 高知工科大学 2011年 第3問関数$\displaystyle f(x)=\frac{2(\log x)^2-3\log x}{x} \ (x>0)$について，次の各問に答えよ．ただし$\log x$は自然対数である．
(1)方程式$f(x)=0$を解け．
(2)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．また，そのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)方程式$f(x)=0$を解け．
(2)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．また，そのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
公立 高知工科大学 2011年 第4問次の各問に答えよ．
(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$が成り立つことを証明せよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$を証明せよ．
(3)関数$y=xe^{-x}$の増減・凹凸を調べ，そのグラフを描け．
(4)$n$を自然数とする．$\displaystyle I_n=\int_0^n xe^{-x}\, dx$を計算し，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}I_n$を求めよ．
(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$が成り立つことを証明せよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$を証明せよ．
(3)関数$y=xe^{-x}$の増減・凹凸を調べ，そのグラフを描け．
(4)$n$を自然数とする．$\displaystyle I_n=\int_0^n xe^{-x}\, dx$を計算し，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}I_n$を求めよ．
公立 広島市立大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$A=\biggl( \begin{array}{cc}
7 & -3 \\
-3 & 1
\end{array} \biggr), B=\biggl( \begin{array}{c}
2 \\
-4
\end{array} \biggr)$とするとき，$A$の逆行列$A^{-1}$と$B$の積$A^{-1}B$を計算せよ．
(2)次の関数の導関数を求めよ．
\[ y=x^{1+\frac{1}{x}} \quad (x>0) \]
(3)次の積分を求めよ．
\mon[(i)] $\displaystyle \int \frac{x^2+1}{x+1} \, dx$
\mon[(ii)] $\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{(x^2+1)^2}$
(1)$A=\biggl( \begin{array}{cc}
7 & -3 \\
-3 & 1
\end{array} \biggr), B=\biggl( \begin{array}{c}
2 \\
-4
\end{array} \biggr)$とするとき，$A$の逆行列$A^{-1}$と$B$の積$A^{-1}B$を計算せよ．
(2)次の関数の導関数を求めよ．
\[ y=x^{1+\frac{1}{x}} \quad (x>0) \]
(3)次の積分を求めよ．
\mon[(i)] $\displaystyle \int \frac{x^2+1}{x+1} \, dx$
\mon[(ii)] $\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{(x^2+1)^2}$
公立 大阪府立大学 2011年 第2問$f(x)=e^{-x}\cos x$とする．
(1)$e^{-x}\sin x-e^{-x}\cos x$を微分せよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$を求めよ．
(3)自然数$n$に対して，
\[ S_n=\frac{1}{n}\left\{ f \left( \frac{\pi}{2n} \right)+f \left( \frac{2\pi}{2n} \right)+f \left( \frac{3\pi}{2n} \right)+\cdots + f \left( \frac{n\pi}{2n} \right) \right\} \]
とおく．次の式が成り立つことを示せ．
\[ S_n<\frac{2}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx < S_n + \frac{1}{n} \]
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．
(1)$e^{-x}\sin x-e^{-x}\cos x$を微分せよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$を求めよ．
(3)自然数$n$に対して，
\[ S_n=\frac{1}{n}\left\{ f \left( \frac{\pi}{2n} \right)+f \left( \frac{2\pi}{2n} \right)+f \left( \frac{3\pi}{2n} \right)+\cdots + f \left( \frac{n\pi}{2n} \right) \right\} \]
とおく．次の式が成り立つことを示せ．
\[ S_n<\frac{2}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx < S_n + \frac{1}{n} \]
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．
公立 広島市立大学 2011年 第4問関数$f(x)=(x-2)e^{-\frac{x}{3}}$について，以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減，極値，凹凸，変曲点を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．必要であれば$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$を用いてよい．
(2)次の連立不等式の表す領域の面積を求めよ．
\[ x \geqq 0,\quad y \leqq 0,\quad y \geqq f(x) \]
(1)$f(x)$の増減，極値，凹凸，変曲点を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．必要であれば$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$を用いてよい．
(2)次の連立不等式の表す領域の面積を求めよ．
\[ x \geqq 0,\quad y \leqq 0,\quad y \geqq f(x) \]
公立 京都府立大学 2011年 第3問曲線$y=x^3-2x^2-x+2$を$C$とする．$f(x)=x^3-2x^2-x+2$とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$y$軸上の点$\mathrm{P}(0,\ a)$から$C$に接線がちょうど$3$本引けた．このとき$a$がとり得る値の範囲を求めよ．ただし，$C$と$1$本の直線が$2$点以上で接することはないことを，説明なく用いてよい．
(2)点$\mathrm{P}(0,\ a)$から曲線$C$に引いた接線上の接点を点$\mathrm{Q}(s,\ f(s))$とする．$a$が$(1)$で求めた範囲の値をとるとき，$s$がとり得る値の範囲を求めよ．
(1)$y$軸上の点$\mathrm{P}(0,\ a)$から$C$に接線がちょうど$3$本引けた．このとき$a$がとり得る値の範囲を求めよ．ただし，$C$と$1$本の直線が$2$点以上で接することはないことを，説明なく用いてよい．
(2)点$\mathrm{P}(0,\ a)$から曲線$C$に引いた接線上の接点を点$\mathrm{Q}(s,\ f(s))$とする．$a$が$(1)$で求めた範囲の値をとるとき，$s$がとり得る値の範囲を求めよ．