条件$0<a \leqq b$を満たす整数$a,\ b$に対して
\[ f(x)=x(x-a)(x-b)-5 \]
とおく．$f(x)$は$(x-k)(x^2+lx+m)$の形に因数分解されるとする．ただし，$k,\ l,\ m$は整数で，$k>0$である．

(1)$km=[ア]$である．このとき，$k$の値は$[イ]$または$[ウ]$である．ただし，$0<[イ]<[ウ]$とする．
(2)条件を満たすような数の組$(a,\ b,\ k)$は
\[ (\mkakko{エ},\ \mkakko{オ},\ \mkakko{カ}),\quad (\mkakko{キ},\ \mkakko{ク},\ \mkakko{ケ}),\quad (\mkakko{コ},\ \mkakko{サ},\ \mkakko{シ}) \]
である．ただし，$[エ]<[キ]<[コ]$とする．

放物線$y=ax^2+bx+c (a \neq 0)$が点$(0,\ 1)$を通り，かつ，その頂点の座標が$(\cos \theta,\ -\cos 2\theta)$であるとき，次の問に答えよ．ただし，定数$\theta$は$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲にある．

(1)$a$および$c$の値を求めよ．
(2)$b$を$\theta$を用いて表せ．
(3)関数$y=ax^2+bx+c (-1 \leqq x \leqq 1)$の最大値が$5$となるような$\theta$の値をすべて求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=x^3-3x^2-6x-\frac{6}{x}-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}$の定義域は$x>0$とする．
\[ x=\frac{[オ]\text{±}\sqrt{[カ]}}{[キ]} \text{のとき，関数} f(x) \text{は最小値}[ク]\text{をとる．} \]
ただし，$[キ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．

定数$a$に対して$f(x)=ax^2+3a$，$g(x)=2ax-a^2$とするとき，すべての実数$x$について$f(x)>g(x)$が成り立つための必要十分条件は$a>[チ]$であり，少なくとも$1$つの実数$x$について$f(x)>g(x)$が成り立つための必要十分条件は，$a>[ツ]$または$a<[テ]$である．

$f(x)=x^4+2x^3-3x^2$について，次に答えよ．

(1)$f(x)={(x^2+x+a)}^2+bx+c$となる$a,\ b,\ c$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=bx+c$が共有する点の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$2$点で接する直線の式を求めよ．

$f(x)=\sqrt{(x-6)^2(-x-1)^2}+\sqrt{(x-2)^2(x-3)^2}$とする．次の条件のとき，$f(x)$を簡単にしなさい．

(1)$6<x$のとき，$f(x)=[ア]$
(2)$3<x \leqq 6$のとき，$f(x)=[イ]$
(3)$2<x \leqq 3$のとき，$f(x)=[ウ]$
(4)$-1<x \leqq 2$のとき，$f(x)=[エ]$
(5)$x \leqq -1$のとき，$f(x)=[オ]$

$x$の$3$次関数$y=x^3+px^2+qx+r$のグラフは放物線$\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2$と相異なる$3$点$\mathrm{A}(4,\ 4)$，$\mathrm{B}(-2,\ 1)$，$\mathrm{C}(x_0,\ y_0)$で交わり，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{BC}$は直交するとする．

(1)このとき$x_0$と$y_0$を求めなさい．
(2)このとき$p,\ q,\ r$を求めなさい．

関数$y=8^x-3 \cdot 2^x$について，以下の問いに答えなさい．

(1)$y$の値が$0$となる$x$の値を求めなさい．
(2)$y$の最小値と，$y$の最小値を与える$x$の値を求めなさい．

$f(x)=\log x -2x+1 (x>0)$とする．$a$を正の定数とし，$t$は$0<t<a$をみたす実数とする．関数$y=f(x)$のグラフ上に$3$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$を，それぞれの$x$座標が$a-t,\ a,\ a+t$となるようにとる．以下の問いに答えなさい．

(1)$f(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$のグラフをかきなさい．
(2)点$\mathrm{R}$が$\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を満たすとき，$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を求めなさい．
(3)四角形$\mathrm{APRQ}$の面積$S(t)$を求めなさい．
(4)$\displaystyle \lim_{t \to -0}\frac{S(t)}{t^3}$を求めなさい．

$a$を実数とする．関数$\displaystyle f(x)=\sin x+a\cos^2 x -\frac{1}{4}$について，以下の問いに答えなさい．

(1)$a=1$とするとき，$0 \leqq x \leqq 2\pi$における$f(x)$の増減と極値を調べて，$y=f(x)$のグラフをかきなさい．
(2)$f(x)$の極値をあたえる$x$が$0 < x<\pi$の範囲に$1$個だけ存在するための$a$についての必要十分条件を求めなさい．