「関数」について
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私立 聖マリアンナ医科大学 2011年 第4問関数$\displaystyle f(x)=2 \log \frac{2+\sqrt{4-x^2}}{x}-\sqrt{4-x^2}$を考える．ただし，対数は自然対数である．以下の問いに答えなさい．
(1)関数$f(x)$の定義域は$0<x \leqq a$である．$a$の値を求めなさい．
(2)曲線$y=f(x)$の概形をかきなさい．なお，$y$の増減およびグラフの凹凸を調べた過程も記載しなさい．
(3)$0<x_0<a$とし，上問$(2)$の曲線$y=f(x)$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(x_0,\ y_0)$における$C$の接線と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めなさい．ただし，$a$は上問$(1)$で求めた値とする．
(1)関数$f(x)$の定義域は$0<x \leqq a$である．$a$の値を求めなさい．
(2)曲線$y=f(x)$の概形をかきなさい．なお，$y$の増減およびグラフの凹凸を調べた過程も記載しなさい．
(3)$0<x_0<a$とし，上問$(2)$の曲線$y=f(x)$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(x_0,\ y_0)$における$C$の接線と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めなさい．ただし，$a$は上問$(1)$で求めた値とする．
私立 大阪薬科大学 2011年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)$(x+y+1)^{10}$の展開式で，$x^5y^3$の係数は$[ ]$である．
(2)$1 \cdot 2+2 \cdot 3+3 \cdot 4+4 \cdot 5+\cdots +n(n+1)=[ ]$である．ただし，$n$は正の整数である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \sin B \sin C=\frac{3bc}{4a^2}$が成り立つとき，$A=[ ]$である．ただし，$A=\angle \mathrm{CAB}$，$B=\angle \mathrm{ABC}$，$C=\angle \mathrm{BCA}$，また，$a=\mathrm{BC}$，$b=\mathrm{CA}$，$c=\mathrm{AB}$である．
(4)$a,\ b,\ s,\ t$を$1$でない正の実数とし，$\log_a s+\log_b t=3$，$\log_s a+\log_t b=4$が成り立つとき，$(\log_a s)(\log_b t)$の値は$[ ]$である．
(5)$x$を$0$でない実数とするとき，関数$\displaystyle f(x)=\left( x+\frac{1}{x} \right)^2-\left( x+\frac{1}{x} \right)$の最小値を調べなさい．
(1)$(x+y+1)^{10}$の展開式で，$x^5y^3$の係数は$[ ]$である．
(2)$1 \cdot 2+2 \cdot 3+3 \cdot 4+4 \cdot 5+\cdots +n(n+1)=[ ]$である．ただし，$n$は正の整数である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \sin B \sin C=\frac{3bc}{4a^2}$が成り立つとき，$A=[ ]$である．ただし，$A=\angle \mathrm{CAB}$，$B=\angle \mathrm{ABC}$，$C=\angle \mathrm{BCA}$，また，$a=\mathrm{BC}$，$b=\mathrm{CA}$，$c=\mathrm{AB}$である．
(4)$a,\ b,\ s,\ t$を$1$でない正の実数とし，$\log_a s+\log_b t=3$，$\log_s a+\log_t b=4$が成り立つとき，$(\log_a s)(\log_b t)$の値は$[ ]$である．
(5)$x$を$0$でない実数とするとき，関数$\displaystyle f(x)=\left( x+\frac{1}{x} \right)^2-\left( x+\frac{1}{x} \right)$の最小値を調べなさい．
私立 関西学院大学 2011年 第4問関数$f(x)=x^{-2} \log x (x>0)$について次の問いに答えよ．
(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の極値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$上の点$(p,\ f(p))$における接線の方程式を求めよ．また，原点を通る接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)$m \neq -1$に対して，不定積分$\displaystyle \int x^m \log x \, dx$を求めよ．また，曲線$y=f(x)$，直線$\ell$，および$x$軸で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．
(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の極値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$上の点$(p,\ f(p))$における接線の方程式を求めよ．また，原点を通る接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)$m \neq -1$に対して，不定積分$\displaystyle \int x^m \log x \, dx$を求めよ．また，曲線$y=f(x)$，直線$\ell$，および$x$軸で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．
私立 津田塾大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle f(x)=e^{-x}+\int_0^x e^{-(x-t)} \sin t \, dt$とする．このとき，$f^\prime(x)+f(x)=\sin x$が成り立つことを示せ．
(2)座標空間において，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$を通る直線を$\ell$とし，原点$\mathrm{O}$を通り直線$\ell$とのなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{3}$である直線の$1$つを$m$とする．直線$m$を直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる図形を$S$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$が$S$上にあるならば，
\[ x^2+y^2+z^2+8xy+8yz+8zx=0 \]
が成り立つことを示せ．
(1)$\displaystyle f(x)=e^{-x}+\int_0^x e^{-(x-t)} \sin t \, dt$とする．このとき，$f^\prime(x)+f(x)=\sin x$が成り立つことを示せ．
(2)座標空間において，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$を通る直線を$\ell$とし，原点$\mathrm{O}$を通り直線$\ell$とのなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{3}$である直線の$1$つを$m$とする．直線$m$を直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる図形を$S$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$が$S$上にあるならば，
\[ x^2+y^2+z^2+8xy+8yz+8zx=0 \]
が成り立つことを示せ．
私立 津田塾大学 2011年 第1問次の問に答えよ．
(1)$x>0$のとき，関数$\displaystyle f(x)=x^2+x+\frac{2}{x}+\frac{1}{2x^2}$の最小値を求めよ．
(2)$1$から$10$までの番号が書かれた$10$枚のカードから同時に$3$枚を取り出したとき，カードに書かれた$3$つの数字の積が$3$の倍数になる確率を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$で$\angle \mathrm{A}={75}^\circ$，$\mathrm{BC}=\sqrt{2}$，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}-1$のとき，$\angle \mathrm{C}$，$\mathrm{AC}$を求めよ．
(1)$x>0$のとき，関数$\displaystyle f(x)=x^2+x+\frac{2}{x}+\frac{1}{2x^2}$の最小値を求めよ．
(2)$1$から$10$までの番号が書かれた$10$枚のカードから同時に$3$枚を取り出したとき，カードに書かれた$3$つの数字の積が$3$の倍数になる確率を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$で$\angle \mathrm{A}={75}^\circ$，$\mathrm{BC}=\sqrt{2}$，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}-1$のとき，$\angle \mathrm{C}$，$\mathrm{AC}$を求めよ．
私立 津田塾大学 2011年 第2問関数$f(x)=4 \sin 3x+9 \cos 2x$について次の問いに答えよ．
(1)$t=\sin x$として，$f(x)$を$t$の関数で表せ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(1)$t=\sin x$として，$f(x)$を$t$の関数で表せ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
私立 津田塾大学 2011年 第3問関数$y=x^2-x-4 |x-1|$のグラフを$C$とする．
(1)$C$と$2$つの点で接する直線$\ell$の式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$を図示せよ．
(3)$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$C$と$2$つの点で接する直線$\ell$の式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$を図示せよ．
(3)$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積を求めよ．
私立 津田塾大学 2011年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$t$に関する関数$\displaystyle x=\frac{e^t+e^{-t}}{2} (t \geqq 0)$のグラフをかけ．
(2)$\displaystyle x=\frac{e^t+e^{-t}}{2} (t \geqq 0)$のとき，$\sqrt{x^2-1}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{O}$を原点とし，点$\mathrm{P}(a,\ b)$を双曲線$x^2-y^2=1$上にある第$1$象限内の点とする．$\displaystyle a=\frac{e^s+e^{-s}}{2} (s>0)$のとき，線分$\mathrm{OP}$と双曲線$x^2-y^2=1$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を，$s$を用いて表せ．
(1)$t$に関する関数$\displaystyle x=\frac{e^t+e^{-t}}{2} (t \geqq 0)$のグラフをかけ．
(2)$\displaystyle x=\frac{e^t+e^{-t}}{2} (t \geqq 0)$のとき，$\sqrt{x^2-1}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{O}$を原点とし，点$\mathrm{P}(a,\ b)$を双曲線$x^2-y^2=1$上にある第$1$象限内の点とする．$\displaystyle a=\frac{e^s+e^{-s}}{2} (s>0)$のとき，線分$\mathrm{OP}$と双曲線$x^2-y^2=1$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を，$s$を用いて表せ．
私立 津田塾大学 2011年 第3問次の問に答えよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int {(\log x)}^2 \, dx$を求めよ．
(2)関数$y=\log x$のグラフを$C$とする．$C$に接し，かつ原点を通る直線$\ell$の式を求めよ．
(3)$C$と$\ell$と$x$軸とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int {(\log x)}^2 \, dx$を求めよ．
(2)関数$y=\log x$のグラフを$C$とする．$C$に接し，かつ原点を通る直線$\ell$の式を求めよ．
(3)$C$と$\ell$と$x$軸とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
私立 青山学院大学 2011年 第3問$x$の$3$次関数$f(x)=x^3+3tx^2+(4t^2-3t)x$について，次の問に答えよ．ただし$t$は定数である．
(1)$f(x)$が極大値と極小値をもつような$t$の値の範囲を求めよ．
(2)$t$が$(1)$の範囲にあるとき，極大値と極小値の和を$S$とする．$S$を$t$を用いて表せ．
(3)$t$が$(1)$の範囲にあるとき，$S$の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．
(1)$f(x)$が極大値と極小値をもつような$t$の値の範囲を求めよ．
(2)$t$が$(1)$の範囲にあるとき，極大値と極小値の和を$S$とする．$S$を$t$を用いて表せ．
(3)$t$が$(1)$の範囲にあるとき，$S$の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．