$a$を実数とする．整式$f(x)=x^3+x^2-2x-a(x^2+x-2)$について，次の各問に答えよ．

(1)$f(x)$を因数分解せよ．
(2)方程式$f(x)=0$の$3$つの解をすべて求めよ．
(3)方程式$f(x)=0$の$3$つの解が等差数列をなすとき，$a$の値をすべて求めよ．
(4)方程式$f(x)=0$の$3$つの解が等比数列をなすとき，$a$の値をすべて求めよ．

関数
\[ y=f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
-x^2-12x & (x<0) \\
3x^2-12x+a & (0 \leqq x)
\end{array} \right. \]
を考える．関数$y=f(x)$の区間$0 \leqq x \leqq 6$における最小値が$-12$であるという．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$a$の値は$[ア]$である．
(2)$f(x)=0$となる$x$の値を小さい方から並べると$x=[イウエ],\ [オ],\ [カ]$である．
(3)曲線$y=f(x)$の点$\mathrm{P}(k,\ -k^2-12k)$（$k<0$とする）における接線$\ell$が点$(-1,\ 15)$を通るという．このとき，$k$の値は$[キク]$である．
(4)接線$\ell$と曲線$y=f(x)$の共有点は点$\mathrm{P}$と$([ケ],\ [コサ])$で，接線$\ell$と曲線$y=f(x)$で囲まれる部分の面積は$[シス]$である．

対数関数
\[ f(x)=\log_2 x,\quad g(x)=\log_{\frac{1}{4}} x \]
に対し，$3$つの不等式
\[ x \geqq 1,\quad y \leqq f(x),\quad y \geqq g(x) \]
によって定められる$xy$平面上の領域を$D$とする．また，$xy$平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$で$x,\ y$がともに整数であるものを``格子点''と呼ぶ．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)領域$D$を図示せよ．
(2)「$D$に属する格子点$\mathrm{P}(x,\ y)$で$x \leqq 8$であるもの」の総数を求めよ．
(3)「$D$に属する格子点$\mathrm{P}(x,\ y)$で$x \leqq 33,\ y \geqq 1$であるもの」の総数を求めよ．

次の関係を満たす関数を求めよ．ただし，$n$は$n \geqq 0$である整数とする．

(1)$f_0(x)=\sin x$，$\displaystyle f_{n+1}(x)=\sin x+\int_0^\pi \frac{2t}{\pi^2} f_n(t) \, dt$を満たす関数は$f_n(x)=[$2$]$である．
(2)$f_0(x)=x+1$，$x^2 f_{n+1}(x)=x^3+\int_0^x tf_n(t) \, dt$を満たす関数は$f_n(x)=[$3$]$である．

$c_0,\ \cdots,\ c_3$を係数とする$3$次関数$f(x)=c_3x^3+c_2x^2+c_1x+c_0$は，$4$つの条件
\[ f(0)=a,\quad f^\prime(0)=1,\quad f(1)=b,\quad f(-1)=1 \]
を満たしている．ここで$a$および$b$は実数で$b \neq 3$であり，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数を表す．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$f(x)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$3$次関数$f(x)$に対し，$2$次関数$g(x)$と定積分$S$を
\[ g(x)=f(x)-c_3x^3,\quad S=\int_{-1}^1 g(x) \, dx \]
と定める．定積分$S$の値を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$a,\ b$が$3$つの不等式
\[ a \geqq 0,\quad b \geqq 0,\quad a+b \leqq 1 \]
を満たすとき，$(2)$で定めた定積分$S$の最大値を求めよ．

$0<a<2$，$f(x)=x^5-a^4x$とする．

(1)曲線$y=f(x) (a \leqq x \leqq 2)$と直線$x=2$および$x$軸で囲まれる部分の面積$S(a)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる$2$つの部分の面積の和$T(a)$を求めよ．
(3)$S(a)+T(a)$を最小にする$a$の値を求めよ．

$a>0$，$b>1$である定数$a,\ b$に対して，関数$f(x)$を
\[ f(x)=|\abs{ax-1|-b} \]
と定め，定積分$S$を
\[ S=\int_0^1 f(x) \, dx \]
とする．このとき以下の設問に答えよ．

(1)$0<a<1$の場合，$S$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$1 \leqq a<b+1$の場合，$S$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$a \geqq b+1$の場合，$S$を$a,\ b$を用いて表せ．

$a>0$とし，関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-ax+5$の極大値と極小値の差が$\displaystyle \frac{8}{3} \sqrt{2}$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)定数$a$の値を求めよ．
(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
x \geqq 0 \\
y \geqq x \\
y \leqq -f^\prime(x)
\end{array} \right.$の表す領域の面積を求めよ．ただし，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数である．

$f(x)=x+\sqrt{2} \sin x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$とし，曲線$y=f(x)$を$C$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$C$と$x$軸および直線$x=2\pi$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．

(1)角$\theta$が$0^\circ \leqq \theta \leqq {90}^\circ$，$\displaystyle \tan \theta=\frac{4}{3}$を満たすとき，$\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}$の値は$[　]$である．
(2)$4$次方程式$2x^4+7x^3+4x^2+7x+2=0$の実数解のうち最大のものは$[　]$である．
(3)数列の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \{ \sqrt[3]{(n^3-n^2)^2}-2n \sqrt[3]{n^3-n^2}+n^2 \}$の値は$[　]$である．
(4)円$x^2-8x+y^2-8y+30=0$に接する傾き$1$の$2$つの直線を$\ell_1$，$\ell_2$とする．放物線$y=2x^2+3x-2$と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$によって囲まれる図形の面積は$[　]$である．ただし，この図形は原点を含むものとする．
(5)$x$を正の実数とするとき，関数$\displaystyle y=\left( \frac{2}{x} \right)^x$の導関数$\displaystyle \frac{dy}{dx}$は$[　]$である．
(6)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-2 \sin 2x+3 \cos^2 x} \, dx$の値は$[　]$である．
(7)バスケットボールのフリースローを，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ$3$回ずつ試みて，成功した回数が多い方が勝ちとする．$\mathrm{A}$の成功率は$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\mathrm{B}$の成功率は$\displaystyle \frac{2}{3}$であるとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率は$[　]$である．ただし，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の試行は独立な試行と考える．
(8)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$の数字が書かれた$8$枚のカードがある．カードをもとに戻すことなく，$1$枚ずつ$8$枚すべてを取り出し，左から順に横に一列に並べる．このとき，数字$k$のカードの左側に並んだ$k$より小さい数字のカードの枚数が$k-1$である確率は$[　]$である．ただし，$k$は$1$から$7$までの整数のいずれかとする．