関数$y=-x^2+2x+2$のグラフに点$\mathrm{A}(0,\ a)$から$2$本の異なる接線が引けるとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$の$y$座標$a$が満たす条件を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$を通る$2$本の接線の式と接点の座標を$a$を用いて表せ．
(3)$2$本の接線が直交するときの$a$の値を求めよ．
(4)点$\mathrm{A}$を通る$2$本の接線と放物線で囲まれる図形を$y$軸で$2$つに分割したとき，右側の図形の面積を$S$とする．$(3)$で求めた$a$の値に対して$S$の面積を求めよ．

$a$を$1$より大きい定数とする．関数
\[ f(x)=(\log_2x)^2-\log_2x^4+1 \quad (1 \leqq x \leqq a) \]
の最小値を求めよ．

$1 \leqq x \leqq 3$のとき，関数$\displaystyle f(x)=\int_{x-1}^{x+1} |12-3t^2| \, dt$の最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

$a,\ b$を実数とする．$3$次関数$y=x^3-3ax^2-3bx$が$x=p$と$x=q$とで極値をとるものとする．

(1)$-1 \leqq p \leqq 0$かつ$1 \leqq q \leqq 2$となるような点$(a,\ b)$の動く範囲を平面上に図示せよ．
(2)$(a,\ b)$が上の範囲を動くとき，$a+b$の最大値と最小値を求めよ．

$x$が$x \geqq 0$を満たす実数全体を動くとき，関数
\[ y=e^{-\sqrt{3}x} \sin x \]
の最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．

$3$次関数$y=x^3$のグラフの接線で，放物線$\displaystyle y=-\left( x-\frac{4}{9} \right)^2$にも接するものをすべて求めよ．

関数
\[ f(x)=\sin 3x+2 \cos 2x+4 \sin x \]
の区間$0^\circ \leqq x<360^\circ$における最大値，最小値とそれらを与える$x$の値を求めよ．

$\displaystyle f(x)=x^2-\frac{4}{5}$とおく．

(1)$2$次方程式$f(x)=x$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
(2)$f(f(\alpha))$の値を求めよ．
(3)関数$f(f(x))$を求めよ．
(4)方程式$f(f(x))=x$を解け．

関数$f(x)=\log_3(x+1)+\log_9(3-x)$を考える．次の$[　]$をうめよ．

(1)$f(x)$の定義域は$[$①$]$である．また，整式$g(x)=[$②$]$に対し，$f(x)=\log_9g(x)$となる．
(2)整数$n$に対し$f(n)$の値も整数とする．このとき，$n=[$③$]$であり，$f(n)$の値は$[$④$]$となる．$x$を整数と限らなければ，$f(x)=[$④$]$となるのは，ほかに$x=[$⑤$]$のときがある．

$3$次関数$f(x)=x^3+3x^2-9x-2$について，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$の極値を調べ，グラフをかけ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフ上の点$(a,\ f(a))$における接線と，点$(a+2,\ f(a+2))$における接線が，平行であるような$a$の値を求めよ．また，このときの点$(a,\ f(a))$における接線の方程式を求めよ．