$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$8^{n-1}<10^{39}<8^n$を満たす自然数$n$の値は$[ア]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$a=9$，$b=8$，$c=7$であるとき，$\sin A=[イ]$であり，この三角形の面積は$[ウ]$である．
(3)$2$次方程式$x^2+kx+3=0$の$1$つの解が$\displaystyle \alpha=\frac{3-\sqrt{3}i}{2}$であるとき，実数$k$の値は$[エ]$である．また，$\alpha^5+\alpha^3+1$の値を求めると$[オ]$である．
(4)定積分$\displaystyle \int_0^2 |x^2-1| \, dx=[カ]$である．また，関数$f(x)$がすべての実数$x$に対して等式$\displaystyle f(x)=|x^2-1|+\int_0^2 f(t) \, dt$を満たすとき，$f(x)=[キ]$である．
(5)$a,\ b$は実数で，$a<0$とする．$a \leqq x \leqq 3$を定義域とする$2$次関数$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2-x+b$の値域が$-5 \leqq y \leqq 3$であるとき，$a=[ク]$，$b=[ケ]$である．
(6)$a$を$0$でない実数とする．関数$f(x)=x^3-3ax^2-9a^2x+3a$の極小値が負になるとき，$a$のとりうる値の範囲は$[コ]$である．

$a$を実数とする．$f(x)=e^x |x-a|$について，以下の問いに答えよ．

(1)$a=0$のとき，関数$y=f(x) (-3 \leqq x \leqq 1)$のグラフをかけ．
(2)$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を$a$で表せ．

$a$は実数とする．多項式$f(x),\ g(x)$が
\[ f(x)=ax^2+x+\int_0^1 g(t) \, dt,\quad g(x)=-x^2+2x+\int_{-1}^1 f(t) \, dt \]
を満たすとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^1 g(t) \, dt,\ \int_{-1}^1 f(t) \, dt$の値を$a$を用いて表せ．
(2)方程式$f(x)=g(x)$が実数解をもつときの$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$\displaystyle g \left( \frac{2}{3} \right)=0$のとき，$2$つの関数$y=f(x)$，$y=g(x)$のグラフで囲まれる部分の面積を求めよ．

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$a,\ b$を正の定数とする．関数
\[ f(x)=a(1+\cos x)+b(3+\sin x) \quad (0 \leqq x<2\pi) \]
の最大値が$3$で最小値が$1$であるならば，$a+3b=[ア]$，$a=[イ]$である．
(2)$n$を自然数とする．$\displaystyle \frac{1}{n^2-3 \sqrt{2}n+5}$を最大にする$n$の値は$[ウ]$であり，そのときの最大値は分母を有理化すると$[エ]$である．

$-\pi \leqq x \leqq \pi$の範囲で関数
\[ f(x)=\cos x+\sqrt{3} \sin x-1 \]
を考える．

(1)$f(x)=0$を満たす$x$を求めなさい．
(2)$y=f(x)$のグラフと$x$軸とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めなさい．

$2$次関数$y=x^2-2(a-1)x \cdots\cdots①$（$a$は実数）について，次の問に答えよ．

(1)$①$の表す放物線の頂点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$①$の$-1 \leqq x \leqq 1$における最小値$m$を，$a$の値の範囲によって，場合に分けて求めよ．
(3)$(2)$の最小値$m$を$a$の関数と考えたとき，その最大値とそのときの$a$の値を求めよ．

$2$次関数$y=x^2-2(a-1)x \cdots\cdots①$（$a$は実数）について，次の問に答えよ．

(1)$①$の表す放物線の頂点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$①$の$-1 \leqq x \leqq 1$における最小値$m$を，$a$の値の範囲によって，場合に分けて求めよ．
(3)$(2)$の最小値$m$を$a$の関数と考えたとき，その最大値とそのときの$a$の値を求めよ．

関数$\displaystyle y=2 \sin 2\theta+3 \sin^2 \theta+1+2 \cos^2 \frac{\theta}{2}+2 \sin \theta (0 \leqq \theta<2\pi)$について，次の問に答えよ．なお，$t=2 \sin \theta+\cos \theta$とする．

(1)$y$を$t$を用いて表せ．
(2)$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$y$の最小値を求めよ．

関数$f(x)=x^3+(2a-1)x^2-2a+3$（$a$は実数）について，次の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフは$a$の値によらず$2$つの定点を通ることを示せ．
(2)$f(x)$の極大値が存在するような$a$の値の範囲を求めよ．また，そのときの極大値を与える$x$の値を$m$とすると，$m$を$a$を用いて表せ．
(3)$(2)$のとき，点$(m,\ f(m))$の軌跡を座標平面上に図示せよ．

以下の$[か]$から$[こ]$にあてはまるものを答えよ．

$a,\ b$を定数とするとき，$3$次の整式$f(x)=x^3+ax^2+bx-4$は，$x-2$で割ると$-2$余り，$2x-1$で割ると$\displaystyle -\frac{7}{8}$余るという．

(1)$a=[か]$，$b=[き]$である．
(2)方程式$f(x)=0$の解をすべて求めると，$[く]$である．
(3)方程式$f(x)=c$が異なる$3$つの実数解を持つような実数$c$の値の範囲は，$[け]$である．
(4)関数$f(x)$の区間$d \leqq x \leqq d+3$における最大値が$0$であるような実数$d$の値の範囲は，$[こ]$である．