関数
\[ y=2 \sin^3 x+2 \cos^3 x+3(\sin x+\cos x-4) \sin 2x+18 \sin x+18 \cos x-12 \]
$(0 \leqq x \leqq \pi)$を考える．次の問いに答えよ．

(1)$t=\sin x+\cos x$とおくとき，$t$の動く範囲を求めよ．
(2)$y$を$t$の式で表せ．
(3)$y$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．

関数
\[ f(x)=\frac{1}{2}x+\int_0^x (t-x) \cos t \, dt \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
について以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^x t \cos t \, dt$を求めよ．
(2)$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値を求めよ．

関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$（$a,\ b,\ c$は実数）は，$x=-1$で極大値$13$をとり，$x=1$で，極小値$p$をとるものとする．$p$の値を求めよ．

放物線$C:f(x)=-x^2+x$について考える．$C$上の$2$点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ f(a))$（$a>0$，$a$は実数）とする．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$が曲線$\mathrm{OA}$上を動くとき，三角形$\mathrm{OPA}$の面積の最大値は，$\displaystyle \frac{a^3}{M}$となる．$M$の値を求めよ．（ただし，$0<t<a$，$t$は実数）

角$\theta$が$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$を満たすとき，次の$\theta$の関数を考える．
\[ y=\sin 3\theta +6 \cos 2\theta-6 \sin^2 \frac{\theta}{2}-3 \cos \theta+12 \sin \theta \]
以下の問に答えなさい．空欄内の各文字に当てはまる数字を答えよ．

(1)$\displaystyle x=\sin \theta$とおくとき，$y$を$x$の式で表すと
\[ y=-[ケ]x^3-[コサ]x^2+[シス]x+[セ] \]
となる．
(2)(1)の$3$次関数を利用すると，$y$の最大値は$[ソ]$であり，最小値は$[タ]$であることが分かる．

次の空欄$[ア]$から$[オ]$に当てはまるものをそれぞれ入れよ．

関数$f(t)$は$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$において微分可能で$f(t)>0$かつ$f^\prime(t)>0$をみたすとする．また$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{3} \right)=2$とする．
媒介変数表示$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}
x=f(t) \cos t \\
y=f(t) \sin t
\end{array} \right. \left( 0<t<\frac{\pi}{2} \right)$により定まる曲線を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(f(t) \cos t,\ f(t) \sin t)$における接線と$x$軸との交点を$\mathrm{A}(a(t),\ 0)$とすれば
\[ a(t)=\frac{(f(t))^2}{f^\prime(t) [ア]+f(t) [イ]} \]
となる．$\mathrm{O}$を原点とするとき，すべての$t$に対し$\mathrm{OP}=\mathrm{OA}$であれば$f$は
\[ f^\prime(t) [ア]+f(t) [ウ]=0 \]
をみたす．この式の両辺に$\cos t+1$をかけて整理すると
\[ \frac{d}{dt} \left( f(t) [エ] \right)=0 \]
となり，
\[ f(t)=[オ] [エ]^{-1} \]
が得られる．

座標平面上に放物線$C:y=x^2$と$4$点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$，$\mathrm{Q}(-p,\ p^2)$，$\mathrm{R}(-p,\ p^2+2p)$，$\mathrm{S}(p,\ p^2+2p)$がある．また，$3$次関数$y=f(x)$は$x=-p$で極小値$p^2$，$x=p$で極大値$p^2+2p$をとる．ただし，$p>0$とする．

(1)$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分の面積と正方形$\mathrm{PQRS}$の面積が等しくなる$p$の値を求めよ．
(2)$f(x)$を$p$で表せ．
(3)$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$上の点$(a,\ f(a))$における接線が$\ell$と垂直になるとき，$a$を$p$で表せ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)循環小数$1. \dot{4} \dot{6}$を分数で表すと$[ア]$である．$1. \dot{4} \dot{6}+2. \dot{7}$を循環小数で表すと$[イ]$となる．
(2)$f(\theta)=\sqrt{3} \sin 2\theta-\cos 2\theta+\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta$とする．$x=\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta$として，$f(\theta)$を$x$で表すと$[ウ]$となる．$0 \leqq \theta \leqq \pi$であるとき，関数$f(\theta)$の最大値は$[エ]$である．
(3)$\displaystyle \left( \frac{4}{3} \right)^n$の整数部分が$10$桁になるような整数$n$は$[オ]$個ある．$n$がその中で$4$番目に小さい整数であるとき，$\displaystyle \left( \frac{4}{3} \right)^n$の最高位の数字は$[カ]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(4)円$(x-2)^2+y^2=1$と直線$y=mx$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとき，$m$の値の範囲は$[キ]$であり，原点を$\mathrm{O}$とするとき，線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{OQ}$の長さの積は$[ク]$である．
(5)図のように半径$r$の半球面に円柱が内接している．円柱の体積が最大になるのは円柱の高さが$[ケ]$のときであり，その円柱の体積は$[コ]$である．
（図は省略）

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)関数$\displaystyle f(x)=\left( \frac{1}{9} \right)^x-12 \left( \frac{1}{3} \right)^x+40 (-3 \leqq x \leqq -1)$を考える．$-3 \leqq x \leqq -1$のとき，$\displaystyle t=\left( \frac{1}{3} \right)^x$のとりうる値の範囲を求めると$[ア]$である．また，$f(x)$の最小値$m$とそのときの$x$の値を求めると$(m,\ x)=[イ]$である．
(2)$0 \leqq \theta < 2\pi$とする．方程式$\cos 2\theta+3 \cos \theta-1=0$を解くと$\theta=[ウ]$である．また，方程式$\displaystyle \log_3 (\sqrt{3} \tan \theta+1)+\log_3 (\cos \theta)=\frac{1}{2}$を解くと$\theta=[エ]$である．
(3)$2x^3-ax^2-2x+a$を因数分解すると$[オ]$である．また，$P(x)=2x^3-ax^2-2x+a$，$Q(x)=-x^2+(2a-1)x+2a$とおくとき，すべての正の$x$について$P(x)-Q(x)>0$が成立するような$a$の値の範囲を求めると$[カ]$である．
(4)四角形$\mathrm{ABCD}$が半径$4$の円に内接し，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=4 \sqrt{3}$，$\mathrm{CD}=\sqrt{3} \mathrm{DA}$とする．このとき，$\mathrm{AC}$の長さを求めると$\mathrm{AC}=[キ]$であり，$\mathrm{DA}$の長さを求めると$\mathrm{DA}=[ク]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$2$次関数$y=x^2+x+k$の$-1 \leqq x \leqq 2$における最大値が$8$であるとき，実数$k$の値は$[ア]$であり，そのときの最小値は$[イ]$である．
(2)$\angle \mathrm{O}$が直角の直角三角形$\mathrm{OAB}$において，$\angle \mathrm{O}$の$2$等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{OA}=a$，$\mathrm{OB}=b$とするとき，$\mathrm{OC}=[ウ]$であり，$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$のとき，$\tan A$の値は$[エ]$である．
(3)$3$次方程式$x^3+ax-3a=0$のただひとつの整数解が$x=2$であるとき，$a=[オ]$であり，そのときの虚数解は，$x=[カ]$である．
(4)$x$の$2$次式$f(x)$が，$f(-1)=f(2)=0$と$f(3)=-1$を満たすとき，$f^\prime(-1)=[キ]$であり，$\displaystyle \int_0^2 f(x) \, dx=[ク]$である．
(5)$\displaystyle \frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{5}{6} \pi$のとき，$\displaystyle \sin \left( 2\theta-\frac{\pi}{6} \right)-\cos 2\theta$の最大値は$[ケ]$であり，最小値は$[コ]$である．