関数$f(x)=x^2-2px+2p-1$の$-1 \leqq x \leqq 2$における最小値を$q$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$p>0$とする．

(1)$0<p \leqq 2$のとき，$q$を$p$を用いて表せ．
(2)$p>2$のとき，$q$を$p$を用いて表せ．
(3)$q$の最大値とそのときの$p$の値を求めよ．

定数$a$に対して$f(x)=ax^2+3a$，$g(x)=2ax-a^2$とするとき，すべての実数$x$について$f(x)>g(x)$が成り立つための必要十分条件は$a>[チ]$であり，少なくとも$1$つの実数$x$について$f(x)>g(x)$が成り立つための必要十分条件は，$a>[ツ]$または$a<[テ]$である．

関数$y=-9^{x+1}+3^{x+3}+2$（$0 \leqq x \leqq 3$，$x$は実数）の最大値を$M$とするとき，$\displaystyle \frac{89}{M}$の値を求めよ．

関数$y=2 \cos \theta-\sin^2 \theta+2 (0 \leqq \theta<2\pi)$の最大値を$M$，最小値を$m$とする．$Mm$の値を求めよ．

$f(x)=x^2+4ax-8a+5$とおくとき，$x$の$2$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつ．ただし，$a$は実数とし，$\alpha>\beta$とする．

(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$\alpha>1$かつ$\beta<1$であるような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$\beta>3$であるような$a$の値の範囲を求めよ．

$f(x)=2x^3+12x^2+18x+9$とおくとき，関数$y=f(x)$のグラフは点$\mathrm{A}$に関して点対称である．点$\mathrm{A}$を通る傾き$m$の直線を$\ell$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)直線$\ell$が関数$y=f(x)$のグラフと$3$点で交わる条件を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$のグラフと直線$\ell$で囲まれた$2$つの部分の面積の和が$1$となるような$m$の値を求めよ．

$a$を正の実数とする．関数$y=\sin 2x+2a(\sin x+\cos x)+1$は，$0 \leqq x<2\pi$で定義されている．$t=\sin x+\cos x$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$t$の値の範囲を求めよ．
(2)$\sin 2x$を$t$を用いて表せ．
(3)$y$を$t$を用いて表せ．
(4)$y$の最小値を求めよ．

$f(x)=x^2+4ax-8a+5$とおくとき，$x$の$2$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつ．ただし，$a$は実数とし，$\alpha>\beta$とする．

(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$\alpha>1$かつ$\beta<1$であるような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$\beta>3$であるような$a$の値の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{5}{x^2-x-6}-\frac{4}{x-3}$を簡単にせよ．

(2)$\displaystyle -3 \leqq x \leqq \frac{1}{2}$のとき，関数$f(x)=-x^2-2x+9$の最大値と最小値を求めよ．

(3)$3$直線$\ell_1:5x+y-23=0$，$\ell_2:3x-y-1=0$，$\ell_3:x-3y+5=0$があり，$\ell_1$と$\ell_2$，$\ell_2$と$\ell_3$，$\ell_3$と$\ell_1$の交点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とするとき，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標と$\cos \angle \mathrm{ABC}$の値を求めよ．

$3$次関数$f(x)$は$x^3$の係数が$1$で，$2$次方程式$f^\prime(x)=0$が$x=2$を重解にもち，$f(0)=0$を満たしているとする．次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)方程式$f(x)=kx$が異なる$3$つの実数解をもつように，定数$k$の値の範囲を定めよ．
(3)方程式$f(x)=3x+m$が異なる$3$つの実数解をもつように，定数$m$の値の範囲を定めよ．