関数$f(x)=\cos x-x \sin x,\ g_n(x)=(x+n \pi)\sin x-\cos x \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$について，次の問いに答えよ．ただし，必要があれば，$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$を満たすすべての$x$について$\tan x>x$が成り立つことを用いてよい．

(1)すべての自然数$n$，実数$x$に対して$g_n(x)=(-1)^{n+1}f(x+n \pi)$が成り立つことを示せ．
(2)自然数$n$に対して，方程式$g_n(x)=0$は$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲においてただ$1$つの解をもつことを示せ．
(3)(2)におけるただ$1$つの解を$x_n$とする．$x_n$は$\displaystyle 0<x_n<\frac{1}{n\pi}$を満たすことを示せ．
(4)$y_n=n\pi+x_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．定積分
\[ S_n=\int_{y_n}^{y_{n+1}}|f(x)| \, dx \]
を，$n,\ x_n$および$x_{n+1}$を用いて表せ．
(5)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{n}$を求めよ．

関数$f(x)=-x \log x-(1-x) \log (1-x) \ (0<x<1)$について次の問いに答えよ．ただし，必要ならば$\displaystyle \lim_{x \to +0}x \log x=0$を使ってよい．

(1)$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，$\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x),\ \lim_{x \to 1-0}f(x)$を調べ，そのグラフをかけ．
(2)定積分$\displaystyle S(p)=\int_p^{1-p}f(x) \, dx$を求めよ．ただし，$\displaystyle 0<p<\frac{1}{2}$とする．
(3)極限$\displaystyle \lim_{p \to +0}S(p)$を求めよ．

$f(x)=\displaystyle\frac{\log x}{x}$とする．以下の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形を次の点に注意して描け：$f(x)$の増減，グラフの凹凸，$x$→$+0$，$x$→$\infty$のときの$f(x)$の挙動．
(2)$n$を自然数とする．$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対して$x$が$\displaystyle e^{\frac{k-1}{n}} \leqq x \leqq e^{\frac{k}{n}}$を動くときの$f(x)$の最大値を$M_k$，最小値を$m_k$とし，
\[ A_n = \sum_{k=1}^n M_k(e^{\frac{k}{n}}- e^{\frac{k-1}{n}}) \]
\[ B_n = \sum_{k=1}^n m_k(e^{\frac{k}{n}}- e^{\frac{k-1}{n}}) \]
とおく．$A_n,\ B_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle\lim_{n \to \infty} A_n$および$\displaystyle\lim_{n \to \infty} B_n$求めよ．
(4)各$n$に対して$\displaystyle B_n < \int_1^e f(x)\, dx < A_n$であることを示せ．

不等式
\[ |y| - |x(x-1)| \leqq 0 \]
の表す領域を$S$とする．

(1)$S$において，不等式
\[ -\frac{9}{10} \leqq x \leqq \frac{11}{10} \]
を満たす点$(x,\ y)$の領域を$T$とする．$T$に含まれる点$(x,\ y)$に対し，$y$の最大値は[テ]である．
(2)$S$において，不等式
\[ -\frac{1}{20} \leqq x \leqq \frac{11}{10} \]
を満たす点$(x,\ y)$の領域を$U$とする．領域$U$における関数$x+9y$の最大値は[ト]で，最小値は[ナ]である．

$[ア]$～$[エ]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)関数
\[ f(x) = \int_0^1 |t^2-x^2| \, dt \]
の最小値は$[ア]$である．
(2)$n$を正の整数とする．$10^n$の正の約数すべての積は$[イ]$である．
(3)$\log_3n$が無理数となる$2011$以下の正の整数$n$は，全部で$[ウ]$個ある．
(4)関数$f(x)$は，次の$2$つの条件を満たしている．

(5)すべての実数$x$に対して，$f(3+x)=f(3-x)$
(6)$x$の値が，異なる$5$つの実数$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$のときに限り$f(x)=0$となる．

このとき$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=[エ]$である．

関数$\displaystyle f(x)=x^3-3x^2-6x-\frac{6}{x}-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}$の定義域は$x>0$とする．
\[ x=\frac{[オ]\text{±}\sqrt{[カ]}}{[キ]} \text{のとき，関数} f(x) \text{は最小値}[ク]\text{をとる．} \]
ただし，$[キ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．

関数$\displaystyle y=3 \cos^2 x-\cos 2x+\sin x \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$について考える．

(1)$t=\sin x$とおくと，関数$y$は$t$の関数として
\[ y=[ア]t^2+t+[イ] \]
と表される．
(2)$y$は$\displaystyle x=\frac{\pi}{[ウ]}$のとき最大値$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$をとり，$\displaystyle x=-\frac{\pi}{[カ]}$のとき最小値$[キ]$をとる．

関数$f(x)=|2x-6|-4$に対して，$\displaystyle F(x)=\int_0^x f(t) \, dt (0 \leqq x \leqq 6)$とおく．

(1)$0 \leqq x \leqq [コ]$のとき，$F(x)=-x^2+[サ]x$であり，$[コ]<x \leqq 6$のとき，$F(x)=x^2-[シス]x+[セソ]$である．
(2)$F(x)$は$x=[タ]$のとき最大値$[チ]$をとり，$x=[ツ]$のとき最小値$[テト]$をとる．

等式$\displaystyle f(x)=1+x \int_0^1 tf(t-1) \, dt$をみたす関数$f(x)$を求めよ．

$f(x)=x^3+3x^2+4$とするとき，座標平面上の曲線$y=f(x)$について，次の問に答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$の変曲点を求めよ．
(2)点$(t,\ f(t))$における曲線$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$の接線で点$(1,\ a)$を通るものがちょうど$3$本あるような$a$の範囲を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$の接線で点$(1,\ a)$を通るものがちょうど$2$本あるような最小の$a$に対して，$2$本の接線と曲線$y=f(x)$で囲まれる部分の面積を求めよ．