「関数」について
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国立 愛媛大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)関数$y=x^2-3x+7-3 |x-2|$のグラフをかけ．
(2)方程式$\displaystyle \log_5x-\frac{4}{\log_5x}+\frac{\log_5 x^3}{\log_5 x}=0$を解け．
(3)$a>0$とする．関数$f(t)=t(a-t^2) \ (0<t<\sqrt{a})$の最大値が$2$であるとき，$a$の値を求めよ．
(4)正四面体の各面に$0,\ 1,\ 2,\ 3$の数字が$1$つずつ書かれているさいころがある．このさいころを投げたとき，各面が底面になる確率は等しいものとする．このようなさいころを$2$つ同時に投げ，おのおののさいころの底面に書かれている数の積を$X$とする．$X$の期待値を求めよ．
(5)$2$つの曲線$y=x^2$，$y=-x^2+2x+1$で囲まれる図形の面積を求めよ．
(1)関数$y=x^2-3x+7-3 |x-2|$のグラフをかけ．
(2)方程式$\displaystyle \log_5x-\frac{4}{\log_5x}+\frac{\log_5 x^3}{\log_5 x}=0$を解け．
(3)$a>0$とする．関数$f(t)=t(a-t^2) \ (0<t<\sqrt{a})$の最大値が$2$であるとき，$a$の値を求めよ．
(4)正四面体の各面に$0,\ 1,\ 2,\ 3$の数字が$1$つずつ書かれているさいころがある．このさいころを投げたとき，各面が底面になる確率は等しいものとする．このようなさいころを$2$つ同時に投げ，おのおののさいころの底面に書かれている数の積を$X$とする．$X$の期待値を求めよ．
(5)$2$つの曲線$y=x^2$，$y=-x^2+2x+1$で囲まれる図形の面積を求めよ．
国立 浜松医科大学 2011年 第3問実数$k$は$\displaystyle \frac{\pi}{3} \leqq k \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲にあるとする．
\[ \begin{array}{ll}
f(x)=\int_{-k}^k \sin (x-t) \cos t \, dt & (-k \leqq x \leqq k) \\
g(x)=\int_{-k}^k |\sin (x-t)|\cos t \, dt & (-k \leqq x \leqq k)
\end{array} \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{6} \right)$と$\displaystyle g \left( -\frac{\pi}{6} \right)$，$2$つの定積分の値をそれぞれ求めよ．
(2)差$f(x)-g(x)$は，区間$-k \leqq x \leqq k$で増加することを示せ．
(3)曲線$y=g(x)$の変曲点は何個あるか，調べよ．
\[ \begin{array}{ll}
f(x)=\int_{-k}^k \sin (x-t) \cos t \, dt & (-k \leqq x \leqq k) \\
g(x)=\int_{-k}^k |\sin (x-t)|\cos t \, dt & (-k \leqq x \leqq k)
\end{array} \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{6} \right)$と$\displaystyle g \left( -\frac{\pi}{6} \right)$，$2$つの定積分の値をそれぞれ求めよ．
(2)差$f(x)-g(x)$は，区間$-k \leqq x \leqq k$で増加することを示せ．
(3)曲線$y=g(x)$の変曲点は何個あるか，調べよ．
国立 山梨大学 2011年 第2問実数全体で定義された関数$F(x)$が次の条件$①$と$②$の両方を満たすとき「$F(x)$は性質$(\mathrm{P})$を持つ」ということにする．
$①$ すべての実数$x$について$F(x)>0$である．
$②$ $F(x)$は何度でも微分が可能で$\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}\log F(x)=\frac{1}{\{F(x)\}^2}$を満たす．
(1)$y=f(x)$が性質$(\mathrm{P})$を持つとき$y^{\prime\prime}y-(y^\prime)^2=1$，$y^{\prime\prime\prime}y-y^{\prime\prime}y^\prime=0$となること，および$\displaystyle \frac{y^{\prime\prime}}{y}$は正の定数であることを示せ．
(2)$y=f(x)$は性質$(\mathrm{P})$を持つとする．$\displaystyle \frac{y^{\prime\prime}}{y}=k^2$（$k$は正の定数）とおくとき，$k^2y^2-(y^\prime)^2=1$であることを示し，さらに$ky-y^\prime>0$および$ky+y^\prime>0$が成り立つことを示せ．
(3)$c$を実数とする．(2)のとき，関数$\displaystyle kf(c)y+\frac{1}{k}f^\prime(c)y^\prime$も性質$(\mathrm{P})$を持つことを証明せよ．ただし$①$を示すために
\[ kf(c)y+\frac{1}{k}f^\prime(c)y^\prime=f(c)(ky \mp y^\prime) \pm \frac{1}{k}y^\prime (kf(c) \pm f^\prime(c)) \quad (\text{複号同順}) \]
を利用してもよい．
$①$ すべての実数$x$について$F(x)>0$である．
$②$ $F(x)$は何度でも微分が可能で$\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}\log F(x)=\frac{1}{\{F(x)\}^2}$を満たす．
(1)$y=f(x)$が性質$(\mathrm{P})$を持つとき$y^{\prime\prime}y-(y^\prime)^2=1$，$y^{\prime\prime\prime}y-y^{\prime\prime}y^\prime=0$となること，および$\displaystyle \frac{y^{\prime\prime}}{y}$は正の定数であることを示せ．
(2)$y=f(x)$は性質$(\mathrm{P})$を持つとする．$\displaystyle \frac{y^{\prime\prime}}{y}=k^2$（$k$は正の定数）とおくとき，$k^2y^2-(y^\prime)^2=1$であることを示し，さらに$ky-y^\prime>0$および$ky+y^\prime>0$が成り立つことを示せ．
(3)$c$を実数とする．(2)のとき，関数$\displaystyle kf(c)y+\frac{1}{k}f^\prime(c)y^\prime$も性質$(\mathrm{P})$を持つことを証明せよ．ただし$①$を示すために
\[ kf(c)y+\frac{1}{k}f^\prime(c)y^\prime=f(c)(ky \mp y^\prime) \pm \frac{1}{k}y^\prime (kf(c) \pm f^\prime(c)) \quad (\text{複号同順}) \]
を利用してもよい．
国立 防衛大学校 2011年 第1問関数$f(x)=4^x-2^{x+3}-2^{-x+3}+4^{-x} (x \geqq 0)$について，次の問に答えよ．
(1)$2^x+2^{-x}=t$とおくとき，$f(x)$を$t$の式で表せ．
(2)$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$の最小値$m$とそのときの$x$の値を求めよ．
(1)$2^x+2^{-x}=t$とおくとき，$f(x)$を$t$の式で表せ．
(2)$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$の最小値$m$とそのときの$x$の値を求めよ．
国立 鳴門教育大学 2011年 第1問関数$f(x)=x(2a-|x|)$を考える．ただし，$a$は実数である．$-1 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$g(a)$とおく．$g(a)$を$a$を用いて表し，そのグラフをかけ．
国立 東京海洋大学 2011年 第1問$3$次関数$f(x)$を$f(x)=x^3-4x$で定める．このとき，次の問に答えよ．
(1)関数$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)点$(1,\ 4)$を通る直線と$y=|f(x)|$のグラフが，$x>0$の範囲において$2$個の共有点をもつという．このような直線をすべて求めよ．ただし，直線の傾きは負とする．
(1)関数$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)点$(1,\ 4)$を通る直線と$y=|f(x)|$のグラフが，$x>0$の範囲において$2$個の共有点をもつという．このような直線をすべて求めよ．ただし，直線の傾きは負とする．
国立 東京海洋大学 2011年 第2問関数$f(x)=ax^2+bx+c$に対して次の等式が成り立っているとする．
\[ f^\prime(x)=x \int_{-2}^1 f(t) \, dt+\int_0^1 tf^\prime(t) \, dt \]
このとき，次の問に答えよ．ただし，$a,\ b,\ c$は定数で$a>0$とする．
(1)$b,\ c$を$a$で表せ．
(2)曲線$y=f(x)$の$\displaystyle x \geqq -\frac{1}{2}$の部分と$x$軸および$y$軸とで囲まれた図形の面積が$1$のとき，$a$の値を求めよ．
\[ f^\prime(x)=x \int_{-2}^1 f(t) \, dt+\int_0^1 tf^\prime(t) \, dt \]
このとき，次の問に答えよ．ただし，$a,\ b,\ c$は定数で$a>0$とする．
(1)$b,\ c$を$a$で表せ．
(2)曲線$y=f(x)$の$\displaystyle x \geqq -\frac{1}{2}$の部分と$x$軸および$y$軸とで囲まれた図形の面積が$1$のとき，$a$の値を求めよ．
国立 東京海洋大学 2011年 第3問$a$を正の定数とする．関数$f(x)=x(a-x)$，$g(x)=x^2(a-x)$に対し，$2$つの曲線$C_1:y=f(x)$，$C_2:y=g(x)$を考える．以下の問いに答えよ．
ただし，$\displaystyle \int x^3 \, dx=\frac{x^4}{4}+C$（$C$は積分定数）を用いてよい．
(1)$g(x)$の極値を$a$を用いて表せ．
(2)$0<a \leqq 1$とする．$C_1$と$x$軸で囲まれた図形の面積が，$C_2$と$x$軸で囲まれた図形の面積の$3$倍になるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$a>1$とする．$2$曲線$C_1,\ C_2$で囲まれてできる$2$つの図形の面積が等しくなるとき，$a$の値を求めよ．
ただし，$\displaystyle \int x^3 \, dx=\frac{x^4}{4}+C$（$C$は積分定数）を用いてよい．
(1)$g(x)$の極値を$a$を用いて表せ．
(2)$0<a \leqq 1$とする．$C_1$と$x$軸で囲まれた図形の面積が，$C_2$と$x$軸で囲まれた図形の面積の$3$倍になるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$a>1$とする．$2$曲線$C_1,\ C_2$で囲まれてできる$2$つの図形の面積が等しくなるとき，$a$の値を求めよ．
国立 大分大学 2011年 第2問$x$の三次関数$y=ax^3+bx^2+cx+d$のグラフはある点に関して対称であることを証明せよ．ここに，$a,\ b,\ c,\ d$は定数で$a \neq 0$とする．
国立 愛媛大学 2011年 第2問次の問いに答えよ．
(1)関数$y=x^2-3x+7-3 |x-2|$のグラフをかけ．
(2)$a>0$とする．関数$y=(a-x)\sqrt{x} \ (0<x<a)$の最大値が$2$であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)自然数$n$について，等式
\[ 1+2x+3x^2+\cdots +nx^{n-1}=\frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2} \]
が成り立つことを，数学的帰納法を用いて示せ．ただし，$x \neq 1$とする．
(4)$i$を虚数単位とする．等式$\displaystyle (2+3i)(5a-2i)=\frac{b}{1-i}$を満たす実数$a$と実数$b$の値を求めよ．
(5)次の不定積分を求めよ．
\[ (ⅰ) \int \frac{1}{\tan 4x} \, dx \qquad (ⅱ) \int x \sqrt{1-5x} \, dx \]
(1)関数$y=x^2-3x+7-3 |x-2|$のグラフをかけ．
(2)$a>0$とする．関数$y=(a-x)\sqrt{x} \ (0<x<a)$の最大値が$2$であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)自然数$n$について，等式
\[ 1+2x+3x^2+\cdots +nx^{n-1}=\frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2} \]
が成り立つことを，数学的帰納法を用いて示せ．ただし，$x \neq 1$とする．
(4)$i$を虚数単位とする．等式$\displaystyle (2+3i)(5a-2i)=\frac{b}{1-i}$を満たす実数$a$と実数$b$の値を求めよ．
(5)次の不定積分を求めよ．
\[ (ⅰ) \int \frac{1}{\tan 4x} \, dx \qquad (ⅱ) \int x \sqrt{1-5x} \, dx \]