$x$の$2$次関数$f(x)$が条件$f(0)=3$，$f^\prime(0)=-2$，$f^\prime(3)=4$を満たすとする．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$に点$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ 0 \right)$から$2$本の接線を引いたとき，それぞれについて接線の方程式および接点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$および$(2)$で求めた$2$本の接線で囲まれた部分の面積を求めよ．

関数$f(x)=4^x+4^{-x}-2^{2+x}-2^{2-x}+2$について，次の問いに答えよ．

(1)$t=2^x+2^{-x}$とおいて，$f(x)$を$t$で表せ．
(2)$t$の値の範囲を求めよ．
(3)関数$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(4)方程式$f(x)=0$を解け．

関数$f(x)=x^2-x-2 |x|$について，次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$y=mx$と$y=f(x)$とが異なる2つの共有点をもつような$m$の値の範囲を求めよ．
(3)$y=mx$と$y=f(x)$とが異なる3つの共有点をもつとき，これらにより囲まれる2つの部分の面積の和$S$を$m$で表せ．
(4)$S$の最小値とそのときの$m$の値を求めよ．

関数$f(x)=4^x+4^{-x}-2^{2+x}-2^{2-x}+2$について，次の問いに答えよ．

(1)$t=2^x+2^{-x}$とおいて，$f(x)$を$t$で表せ．
(2)$t$の値の範囲を求めよ．
(3)関数$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(4)方程式$f(x)=0$を解け．

連続関数$f(x)$に対して，
\[ g(x)=\int_0^x (f(t)+2) \sin (x-t) \, dt \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)定積分$\displaystyle \int_0^x (t+2) \sin (x-t) \, dt$を求めよ．
(2)$\displaystyle g(x)=\sin x \int_0^x (f(t)+2) \cos t \, dt-\cos x \int_0^x (f(t)+2) \sin t \, dt$を示せ．
(3)関数$g(x)$の導関数$g^\prime(x)$は$\displaystyle g^\prime(x)=\int_0^x (f(t)+2) \cos (x-t) \, dt$となることを示せ．
(4)関数$g^\prime(x)$の導関数$g^{\prime\prime}(x)$は$g^{\prime\prime}(x)=f(x)-g(x)+2$となることを示せ．
(5)任意の実数$x$に対して$g(x)=f(x)$が成り立つとき，$f(x)$を求めよ．

関数$f_n(x) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の条件を満たしている．

$(ⅰ)$ $f_0(x)=e^{2x}+1$
$(ⅱ)$ $\displaystyle f_n(x)=\int_0^x (n+2t)f_{n-1}(t) \, dt-\frac{2x^{n+1}}{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

このとき以下の問いに答えよ．

(1)$f_1(x),\ f_2(x)$を求めよ．
(2)$f_n(x)$の具体的な形を推測し，その結果を数学的帰納法で証明せよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left\{ f_n^\prime \left( \frac{1}{2} \right) \right\}$を求めよ．ただし，$0<r<1$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}nr^n=0$となることを用いてよい．

$-1 \leqq a \leqq 1$として，次の問に答えよ．

(1)直線$y=a$と半円$x^2+y^2=1 \ (x \geqq 0)$が，ただ1つの点を共有することを示せ．
(2)方程式$\sin x=a$は閉区間$\displaystyle \left[ -\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2} \right]$の範囲でただ1つの実数解をもつことを示せ．
(3)$-1 \leqq x \leqq 1$とする．次の条件
\[ x=\sin y,\quad -\frac{\pi}{2} \leqq y \leqq \frac{\pi}{2} \]
をみたす$y$を$g(x)$とおく．曲線$y=g(x) \ (-1 \leqq x \leqq 1)$の概形をかけ．
(4)曲線$y=g(x)$と2直線$\displaystyle x=\frac{1}{2},\ y=0$で囲まれる図形の面積を求めよ．ただし，$g(x)$は(3)で定義されたものとする．

$a$を正の実数とし，実数$x$についての関数$f(x)=(x^3+ax)e^{-\frac{x^2}{a}}$を考える．ただし任意の自然数$n$に対して$\displaystyle \lim_{t \to \infty}t^n e^{-t}=0$であることを使ってよい．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形を，極値および変曲点を調べて描け．
(2)$\displaystyle g(x)=\int_0^x f(t) \, dt$を求めよ．
(3)$f(x)=g(x)$となる実数$x$はいくつあるか．

文字$x,\ y,\ z$の任意の整式$A$に対して，$x,\ y,\ z$をそれぞれ$\sin \theta,\ \cos \theta,\ \tan \theta$に置き換えて得られる$\theta$の関数を$\widetilde{A}(\theta)$で表す．例えば，
\[ \begin{array}{lll}
P=x^5+z^4-xyz & \text{ならば} & \widetilde{P}(\theta)=\sin^5 \theta+\tan^4 \theta-\sin \theta \cos \theta \tan \theta, \\
P=x^2+y^2,\ Q=1 & \text{ならば} & \widetilde{P}(\theta)=\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1=\widetilde{Q}(\theta)
\end{array} \]
である．ただし$\theta$の関数の定義域は$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq 2\pi,\ \theta \neq \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}$とする．

(1)$P$を$x,\ y,\ z$の整式とする．$\widetilde{P}(\theta)=\widetilde{Q}(\theta)$となる$y,\ z$の整式$Q$が存在することを示せ．
(2)$P$を$x,\ y,\ z$の整式とする．$\widetilde{P}(0)=\widetilde{P}(\pi)$ならば，$\widetilde{P}(\theta)=\widetilde{Q}(\theta)$となる$x,\ z$の整式$Q$が存在することを示せ．
(3)$P$を$x,\ y,\ z$の整式とする．$\displaystyle \theta \to \frac{\pi}{2}$のとき，および$\displaystyle \theta \to \frac{3\pi}{2}$のとき，$\widetilde{P}(\theta)$がそれぞれ収束するならば，$\widetilde{P}(\theta)=\widetilde{Q}(\theta)$となる$x,\ y$の整式$Q$が存在することを示せ．収束とは，一定の実数に限りなく近づくことである．

次の条件によって定められる関数の列$f_n(x) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を考える．
\begin{align}
& f_0(x)=1 \nonumber \\
& f_n(x)=1-\int_0^x tf_{n-1}(t) \, dt \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber
\end{align}
このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f_1(x),\ f_2(x),\ f_3(x)$を求めよ．
(2)$n \geqq 1$のとき，$f_n(x)-f_{n-1}(x)$は$x$についての次数が$2n$の単項式となることを示し，その単項式を求めよ．
(3)$n \geqq 1$のとき，不等式
\[ \frac{1}{2} \leqq f_n(1) \leqq \frac{5}{8} \]
が成り立つことを示せ．