袋の中に5個の玉が入っている．それらは，0と書かれた玉が2個，1と書かれた玉，$-1$と書かれた玉，2と書かれた玉がそれぞれ1個ずつである．この袋の中から3個の玉を取り出す．取り出した3個の玉に書かれた数字の和を$m$とする．次に，袋の中に残った2個の玉に書かれた数字の積を$n$とする．このように定義された$m$と$n$のもとで，2次関数
\[ f(x)=x^2-mx+n \]
を考える．このとき，次の問に答えよ．

(1)$m$のとり得る値をすべて求めよ．
(2)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$をすべて求めよ．
(3)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$のすべてについて，それぞれが起こる確率を求めよ．
(4)不等式$f(x)>0$がすべての実数$x$について成り立つ確率を求めよ．
(5)方程式$f(x)=0$が異なる実数解$\alpha,\ \beta$をもち，同時に$\alpha<2$かつ$\beta<2$となる確率を求めよ．

$f(x)=2x^2-15x+16+11 \log x$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数であり，その底は$e=2.718 \cdots$である．

(1)$x \geqq 1$のとき，$f(x)>0$であることを示せ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および2直線$x=2,\ x=3$で囲まれる部分の面積を求めよ．
(3)$\displaystyle \log \frac{27}{4}>1.8$であることを示せ．

関数$f(x)=(x^2-4x+1)e^{-x}$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)関数$g(x)$は$g^\prime(x)=f(x)$を満たし，かつ，曲線$y=g(x)$上の点$(3,\ g(3))$における接線は$x$軸と点$(2,\ 0)$で交わる．このとき$g(x)$を求めよ．
(3)2曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の2つの交点をP，Qとするとき，曲線$y=f(x)$と線分PQで囲まれた部分の面積を求めよ．

次の設問に答えよ．

(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}\left( x-\frac{1}{x} \right) \ (x>0)$の逆関数を求めよ．
(2)関数$\displaystyle g(x)=\frac{1}{2}\left( e^x-e^{-x} \right)$の逆関数$h(x)$を求めよ．
(3)上で求めた関数$h(x)$の導関数を求めよ．

$e$を自然対数の底とする．関数$f(x)$を$f(x)=\log (e-x) \ (x<e)$とする．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$y$軸との交点をPとする．点Pにおける曲線$y=f(x)$の接線を$\ell$とする．直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$\ell$のグラフを描け．
(4)曲線$y=f(x)$と直線$\ell$および$x$軸によって囲まれた図形を$y$軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)次の関数を微分せよ．

(2)$y=e^{\sqrt{x}}$
(3)$\displaystyle y=\frac{\log |\cos x|}{x}$

(4)次の定積分の値を求めよ．

(5)$\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}} x \tan (x^2) \, dx$
(6)$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{3}} xe^{3x} \, dx$
(7)$\displaystyle \int_e^{e^e} \frac{1}{x \log x} \, dx$
(8)$\displaystyle \int_2^3 \frac{x^2+1}{x(x+1)} \, dx$

関数$f(x)$を
\[ f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
-x^2+4x \quad (x \leqq 0,\ x \geqq 2 \text{のとき}) \\
x^2 \qquad\qquad\;\! (0<x<2 \text{のとき})
\end{array}
\right. \]
とする．座標平面上の曲線$C:y=f(x)$と直線$\ell:y=x$で囲まれる部分の面積を$S$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)曲線$C$の概形をかけ．
(2)$S$の値を求めよ．

次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)次の関数を微分せよ．

(2)$y=e^{\sqrt{x}}$
(3)$\displaystyle y=\frac{\log |\cos x|}{x}$

(4)次の定積分の値を求めよ．

(5)$\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}} x \tan (x^2) \, dx$
(6)$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{3}} xe^{3x} \, dx$
(7)$\displaystyle \int_e^{e^e} \frac{1}{x \log x} \, dx$
(8)$\displaystyle \int_2^3 \frac{x^2+1}{x(x+1)} \, dx$

$0 \leqq x \leqq 1$とする．このとき，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^1 |t^2-xt| \, dt \]
と定義する．次の各問いに答えよ．

(1)$t$の関数$g(t)=|t^2-xt|$のグラフの概形をかけ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

$0 \leqq x \leqq 1$とする．このとき，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^1 |t^2-xt| \, dt \]
と定義する．次の各問いに答えよ．

(1)$t$の関数$g(t)=|t^2-xt|$のグラフの概形をかけ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．