$2$つの関数$f(x)=x^2-x,\ g(x)=ax$がある．ただし，$a$は正の定数とする．

(1)$y=f(x)$の極値を求め，グラフをかけ．
(2)$y=|f(x)|$と$y=g(x)$のグラフで囲まれる部分の面積を求めよ．

関数$f(x)=3\sin x-\sin 3x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$のグラフは直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$に関して対称になることを示せ．
(2)$0<x<\pi$のとき，$f(x)$の極値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x) \ (0 \leqq x \leqq \pi)$と$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$上の点Pから曲線$y=x^2$にひいた2接線の接点をQ，Rとし，$\theta=\angle \text{QPR}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)Pの$x$座標を$t$としPを$\ell$上動かす．$t \neq 0$のとき，$\tan \theta$を$t$の関数として表せ．
(2)$\theta$の最大値を求め，このときの点Pの座標を求めよ．

関数
\[ f(t)=\left\{
\begin{array}{l}
t \qquad\qquad (0 \leqq t \leqq \pi) \\
2\pi-t \quad \, (\pi<t \leqq 2\pi)
\end{array}
\right. \]
に対して，次のように2つの関数$g(x),\ h(x)$を$0 \leqq x \leqq 2\pi$で定義する．
\[ g(x)=\int_0^{2\pi}f(t) \cos (t+x) \, dt,\quad h(x)=\int_0^{2\pi}f(t) \sin (t+x) \, dt \]
このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$g(x),\ h(x)$を求めよ．
(2)$x$が$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，関数$y=g(x)+h(x)$の最大値と最小値を求めよ．

$f(x)=e^{-x^2} \ (x \geqq 0)$とする．以下の各問に答えよ．

(1)$x \geqq 0$に対して，不等式$e^x>x$および$\displaystyle e^x>\frac{x^2}{2}$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$および$\displaystyle \lim_{t \to +0} t \log \frac{1}{t}=0$を示せ．
(3)$f(x)$は減少関数であることを示せ．また，$y = f(x)$の逆関数$x = g(y)$を求めよ．
(4)$a$を$0<a<1$を満たす実数とする．$y$軸，$y＝ f(x)$のグラフおよび直線$y = a$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V(a)$を求めよ．
(5)(4)で求めた$V(a)$に対し$\displaystyle \lim_{a \to +0}V(a)$を求めよ．

関数$f(x)$は
\[ f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
x^3-3x^2+2x \quad\; (x \leqq 2 \text{のとき}) \\
x-2 \qquad\qquad\quad (x>2 \text{のとき})
\end{array}
\right. \]
で定義されている．次の各問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフを描け．
(2)$a \leqq x \leqq a+2$での$f(x)$の最大値が$f(a+2)$と等しくなるような実数$a$の範囲を求めよ．

以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．

(1)次の関数を微分せよ．

\mon[(i)] $y=\sin^3 2x$
\mon[(ii)] $\displaystyle y=\log \frac{e^x}{e^x+1}$

(2)次の不定積分を求めよ．

(3)$\displaystyle \int \frac{1}{x^2} \left( 1+\frac{2}{x} \right)^2 \, dx$
\mon[(ii)] $\displaystyle \int \frac{x^2}{x^2-1} \, dx$

(4)定積分$\displaystyle \int_{-1}^{\log 2} e^{|x|}e^{x} \, dx$を求めよ．

関数$f(x)=x+\cos (2x)$がある．

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(3)曲線$\displaystyle y=f(x) \ \left( \text{ただし，} \ 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$の増減表を書け．増減表には，増減のほか，凹凸についても明示すること．
(4)曲線$\displaystyle y=f(x) \ \left( \text{ただし，} \ 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のグラフを描け．

実数$a,\ b,\ c$に対して，$3$次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(-1),\ f(0),\ f(1)$が整数であるならば，すべての整数$n$に対して，$f(n)$は整数であることを示せ．
(2)$f(2010),\ f(2011),\ f(2012)$が整数であるならば，すべての整数$n$に対して，$f(n)$は整数であることを示せ．

袋の中に$5$個の玉が入っている．それらは，$0$と書かれた玉が$2$個，$1$と書かれた玉，$-1$と書かれた玉，$2$と書かれた玉がそれぞれ$1$個ずつである．この袋の中から$3$個の玉を取り出す．取り出した$3$個の玉に書かれた数字の和を$m$とする．次に，袋の中に残った$2$個の玉に書かれた数字の積を$n$とする．このように定義された$m$と$n$のもとで，$2$次関数
\[ f(x)=x^2-mx+n \]
を考える．このとき，次の問に答えよ．

(1)$m$のとり得る値をすべて求めよ．
(2)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$をすべて求めよ．
(3)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$のすべてについて，それぞれが起こる確率を求めよ．
(4)不等式$f(x)>0$がすべての実数$x$について成り立つ確率を求めよ．
(5)方程式$f(x)=0$が異なる実数解$\alpha,\ \beta$をもち，同時に$\alpha<2$かつ$\beta<2$となる確率を求めよ．