関数$\displaystyle f(x)=\int_0^1 \bigl|t-|\,x\,| \bigr| \, dt$について以下の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフを描け．
(2)定数$k$に対し$f(x)=kx$を満たす$x$の個数を調べよ．
(3)$y=f(x)$のグラフと直線$\displaystyle y=-x+\frac{7}{2}$と$y$軸の3つで囲まれた図形の面積を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\int_0^1 \bigl|t-|\,x\,| \bigr| \, dt$について以下の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフを描け．
(2)定数$k$に対し$f(x)=kx$を満たす$x$の個数を調べよ．
(3)$y=f(x)$のグラフと直線$\displaystyle y=-x+\frac{7}{2}$と$y$軸の3つで囲まれた図形の面積を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2x}+\tan x,\ g(x)=x\cos (x^2)$について以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 0< \alpha < \frac{\pi}{2}$の範囲にある$\alpha$で$f(\alpha)=0$となるものがただひとつ存在することを示せ．
(2)閉区間$\displaystyle \left[\; 0,\ \sqrt{\frac{\pi}{2}} \; \right]$における$g(x)$の増減表を書け．必要ならば(1)の$\alpha$を用いてよい．
(3)$\displaystyle 0< \beta < \sqrt{\frac{\pi}{2}}$の範囲にあり$g^{\prime}(\beta)=0$を満たす$\beta$を(1)の$\alpha$を用いて表せ．また$g(x)=x \cos (x^2) \ (0 \leqq x \leqq \beta)$の逆関数を$h(x)$とする．このとき$y=g(x)$のグラフと$y=h(x)$のグラフの関係に注意して，定積分$\displaystyle \int_0^{g(\beta)} h(x) \, dx$を$\alpha$を用いて表せ．

$k$を正の定数とする．関数
\begin{eqnarray}
& & f(x)=\frac{1}{x}-\frac{k}{(x+1)^2} \quad\,\, (x>0) \nonumber \\
& & g(x)=\frac{(x+1)^3}{x^2} \qquad\qquad (x>0) \nonumber
\end{eqnarray}
について，次の問いに答えよ．

(1)$g(x)$の増減を調べよ．
(2)$f(x)$が極値をもつような定数$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$が$x=a$で極値をとるとき，極値$f(a)$を$a$だけの式で表せ．
(4)$k$が(2)で求めた範囲にあるとき，$f(x)$の極大値は$\displaystyle \frac{1}{8}$より小さいことを示せ．

多項式$f(x)=x^4-x^3+cx^2-11x+d$について，$f(1+\sqrt{2})=0$が成り立つとする．ここで，$c,\ d$は有理数とする．次の問いに答えよ．

(1)$S=\{a+\sqrt{2}b \;|\; a,\ b \text{は有理数} \}$とする．集合$S$の元$z=a+\sqrt{2}b \ $(ただし，$a,\ b$は有理数)に対して，$j(z)=a-\sqrt{2}b$と定義する．$S$の任意の元$z,\ w$に対して，$j(z+w)=j(z)+j(w)$および$j(zw)=j(z)j(w)$が成り立つことを示せ．
(2)(1)を用いて，$S$の元$z$が$f(z)=0$を満たせば，$f(j(z))=0$が成り立つことを示せ．このことを用いて，$f(1-\sqrt{2})=0$を示せ．
(3)有理数$c,\ d$を求め，$f(x)$を有理数の範囲で因数分解せよ．

$a,\ b,\ c$は実数とし，
\[ f(x) = x^4+bx^2+cx+2 \]
とおく．さらに$4$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$と$2$つの虚数解をもち，
\[ \alpha+\beta=-(a+1),\quad \alpha\beta=\frac{1}{a} \]
を満たすと仮定する．

(1)$b,\ c$を$a$を用いて表せ．
(2)$a$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$b$のとり得る値の範囲を求めよ．

$f(x)=1-(x-2) |x-2|$について以下の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$0 \leqq t \leqq 3$における$t$の関数$S(t)$を，
\[ S(t)=\int_t^3 f(x) \, dx \]
とおく．このとき$S(t)=2$となる$t$を求めよ．

$1$辺の長さが$2$の正方形の紙を用意し，頂点を$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$， \\
$\mathrm{A}_4$と名づける．右図のように，正方形の各辺を底辺とする高さ \\
$1-t \ (0<t<1)$の$4$つの二等辺三角形$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{B}_1$， \\
$\triangle \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{B}_2$，$\triangle \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4 \mathrm{B}_3$，$\triangle \mathrm{A}_4 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_4$を正方形から切り離す． \\
そして，4本の線分$\mathrm{B}_1 \mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_2 \mathrm{B}_3$，$\mathrm{B}_3 \mathrm{B}_4$，$\mathrm{B}_4 \mathrm{B}_1$で紙を折り， \\
点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{A}_4$が1点になるように辺を貼り合わせて四角すいを作る．このとき，以下の問いに答えよ．
\img{409_2566_2011_1}{55}


(1)この四角すいの表面積$S$を$t$の式で表せ．
(2)この四角すいの体積$V$を$t$の式で表せ．
(3)$\displaystyle \left( \frac{V}{S} \right)^2$を$f(t)$とおくとき，$f(t)$が3次関数になることを示し，$f(t)$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．

関数$f_n(x) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の条件を満たしている．
\[ (\text{i}) f_0(x)=e^x,\quad (\text{ii}) f_n(x)=\int_0^x (n+t)f_{n-1}(t) \, dt \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき以下の問いに答えよ．

(1)$f_1(x),\ f_2(x)$を求めよ．
(2)$f_n(x)$の具体的な形を推測し，その結果を数学的帰納法で証明せよ．

関数
\[ f(t) = \int_1^t \frac{\log x}{x+t} \, dx \quad (t>0) \]
を考える．ただし，対数は自然対数とする．

(1)この定積分を$x=ty$によって置換することにより，
\[ f(t)=\log t \int_{t^{-1}}^1 \frac{1}{y+1} \, dy+\int_{t^{-1}}^1 \frac{\log y}{y+1} \, dy \]
を示せ．
(2)$\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{t^{-1}}^1 \frac{\log y}{y+1} \, dy=-\frac{\log t}{t(t+1)}$を示せ．
(3)導関数$f^{\,\prime}(t)$を求めよ．
(4)関数$f(t)$の極値を求めよ．