次の問いに答えよ．

(1)関数$y=|x|\sin x$の$x=0$における微分可能性を調べよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int x\sin 2x \, dx$を求めよ．
(3)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で，曲線$C:y=|x|\sin x$を考える．$C$と直線$y=x$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})-ax$が極値をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(3)極値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{1^2+n^2}} +\frac{1}{\sqrt{2^2+n^2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}\right)$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})-ax$が極値をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(3)極値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{1^2+n^2}} +\frac{1}{\sqrt{2^2+n^2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}\right)$を求めよ．

$a,\ b,\ c$を定数とし，$a>0$とする．3次関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+1$の導関数を$f^{\, \prime}(x)$とする．相異なる実数$p,\ q$で定まる3つの数
\[ A=\frac{f^{\, \prime}(p)+f^{\, \prime}(q)}{2},\quad B=f^{\, \prime}\biggl(\frac{p+q}{2} \biggr),\quad C=\frac{f(p)-f(q)}{p-q} \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$A$を$a,\ b,\ c,\ p,\ q$を用いて表せ．
(2)$A,\ B,\ C$の大小関係を調べよ．

$a,\ b,\ c$を定数とし，$a>0$とする．3次関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+1$の導関数を$f^{\, \prime}(x)$とする．相異なる実数$p,\ q$で定まる3つの数
\[ A=\frac{f^{\, \prime}(p)+f^{\, \prime}(q)}{2},\quad B=f^{\, \prime}\biggl(\frac{p+q}{2} \biggr),\quad C=\frac{f(p)-f(q)}{p-q} \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$A$を$a,\ b,\ c,\ p,\ q$を用いて表せ．
(2)$A,\ B,\ C$の大小関係を調べよ．

$\displaystyle f(x)=x\int_0^x \frac{dt}{1+t^2}, g(x)=\log (1+x^2) \ (x \text{は実数})$とおく．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$の値を求めよ．
(2)$x>0$のとき$f(x) > g(x)$であることを証明せよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\{ \left( \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \log (k^2+n^2) \right) -2\log n \right\}$の値を求めよ．

2つの関数$y=ax^2+b,\ y=|(x-1)(x+1)|$のグラフが共有点をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表し，点$(a,\ b)$の存在する領域を座標平面上に図示しなさい．

$p$を実数とする．すべての実数$x$に対して
\[ u(x)=x^2+p\int_0^1 (1+tx)u(t) \, dt \]
をみたす関数$u(x)$が存在するかどうかを考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)もしこのような$u(x)$が存在すれば，$u(x)$は2次関数であることを示せ．
(2)このような$u(x)$が存在しないような$p$の値をすべて求めよ．

$x$の関数$f(x)$と$F(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{x^2+1},\quad F(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
により定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の増減，凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$\displaystyle F \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$の値を求めよ．
(3)実数$x,\ y$が$|x|<1,\ |y|<1$を満たすとき
\[ F \left( \frac{x+y}{1-xy} \right) =F(x)+F(y) \]
が成り立つことを示せ．
(4)$F(2-\sqrt{3})$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x^2}$のグラフを曲線$C$とし，曲線$C$を$x$軸方向に$\displaystyle \frac{3}{2}$だけ平行移動した曲線を$C^{\, \prime}$とする．

(1)曲線$C$と曲線$C^{\, \prime}$の共有点の$x$座標を求めよ．
(2)2曲線$C,\ C^{\, \prime}$で囲まれた領域の面積を求めよ．