$p$を実数とする．すべての実数$x$に対して
\[ u(x)=x^2+p\int_0^1 (1+tx)u(t) \, dt \]
をみたす関数$u(x)$が存在するとき，次の問いに答えよ．

(1)$u(x)$は2次関数であることを示せ．
(2)$p \neq 8+2\sqrt{13}$かつ$p \neq 8-2\sqrt{13}$であることを示せ．

$\displaystyle f(x)=\int_1^x (t^2-6t+8) \, dt$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)=0$を満たす$x$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 5$における最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \int_{x}^{x+3} (t^2-6t+8) \, dt=0$を満たす$x$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x=\sqrt{3\sqrt{2}+4},\ y=\sqrt{3\sqrt{2}-4}$のとき，$\displaystyle \frac{x}{y}+\frac{y}{x}$の値を求めよ．
(2)関数$f(x)=x^2+ax-2a+6$の$x \geqq 0$における最小値が1であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)三角形ABCの辺ABを$2:1$に内分する点をD，辺ACを$3:5$に内分する点をEとする．4点B，C，E，Dが同一円周上にあるとき，辺ABと辺ACの長さの比$\text{AB}:\text{AC}$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=x \log x \ \left(\frac{1}{3} \leqq x \leqq 1 \right)$の増減，凹凸を調べて，そのグラフをかけ．ただし対数は自然対数とする．また自然対数の底$e$は，$2<e<3$をみたす．
(2)定積分$\displaystyle \int_{\frac{1}{3}}^1 x \log x \, dx$を求めよ．

$a,\ b$は実数で$a<b$をみたすものとする．$f(x)=2x^3-3(a+b)x^2+6abx$とする．以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)$x$についての3次方程式$f(x)=0$が異なる3つの実数解をもつとき$a,\ b$のとり得る値の範囲を求め，$ab$平面上に図示せよ．

$f(x)=x^4-4x^3-2x^2+12x$とする．

(1)方程式$f(x)=0$を満たす$x$をすべて求めよ．
(2)関数$f(x)$の極大値を求めよ．
(3)積分$\displaystyle \int_{-1}^1 |f(x)| \, dx$を求めよ．

$f(x)=x^4-4x^3-2x^2+12x$とする．

(1)方程式$f(x)=0$を満たす$x$をすべて求めよ．
(2)関数$f(x)$の極大値を求めよ．
(3)積分$\displaystyle \int_{-1}^1 |f(x)| \, dx$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=|x^2-2x-3|$のグラフをかけ．
(2)$a$を実数とする．このとき，方程式$|x^2-2x-3|=a$の実数解の個数を求めよ．
(3)方程式$|\abs{x^2-2x-3|-6}=2$の実数解の個数を求めよ．

$x>0$で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^2}{\sqrt{x}}$について，次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と2直線$x=e$，$x=e^2$および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=|x|\sin x$の$x=0$における微分可能性を調べよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int x\sin 2x \, dx$を求めよ．
(3)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で，曲線$C:y=|x|\sin x$を考える．$C$と直線$y=x$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．