「関数」について
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国立 岩手大学 2011年 第4問2つの関数を$f(x)=\sqrt{x+1} \ (x \geqq -1),\ g(x)=x^2-1 \ (x \geqq 0)$とし，$y=f(x)$と$y=g(x)$で表される曲線をそれぞれ$C_1,\ C_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の逆関数が$g(x)$であることを示せ．
(2)曲線$C_1$と曲線$C_2$の交点Pの座標を求めよ．
(3)2つの曲線$C_1,\ C_2$，および2直線$x=0,\ x=1$で囲まれた図形の面積が，(2)で求めた交点Pを通る直線により二等分されるとき，この直線の傾きを求めよ．
(1)$f(x)$の逆関数が$g(x)$であることを示せ．
(2)曲線$C_1$と曲線$C_2$の交点Pの座標を求めよ．
(3)2つの曲線$C_1,\ C_2$，および2直線$x=0,\ x=1$で囲まれた図形の面積が，(2)で求めた交点Pを通る直線により二等分されるとき，この直線の傾きを求めよ．
国立 千葉大学 2011年 第4問実数$x$の関数$f(x) = |x−1|(x−2)$を考える．$y = f(x)$のグラフと直線$y = x+a$との共有点の個数は，定数$a$の値によって，どのように変わるかを調べよ．
国立 筑波大学 2011年 第2問自然数$n$に対し，関数
\[ F_n(x) = \int_x^{2x} e^{-t^n} \, dt \quad (x \geqq 0) \]
を考える．
(1)関数$F_n(x) \ (x \geqq 0)$はただ一つの点で最大値をとることを示し，$F_n(x)$が最大となるような$x$の値$a_n$を求めよ．
(2)(1)で求めた$a_n$に対し，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \log a_n$を求めよ．
\[ F_n(x) = \int_x^{2x} e^{-t^n} \, dt \quad (x \geqq 0) \]
を考える．
(1)関数$F_n(x) \ (x \geqq 0)$はただ一つの点で最大値をとることを示し，$F_n(x)$が最大となるような$x$の値$a_n$を求めよ．
(2)(1)で求めた$a_n$に対し，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \log a_n$を求めよ．
国立 信州大学 2011年 第4問次の問いに答えなさい．
(1)$2$次関数
\[ f(x) = -x^2+a,\quad g(x) = (x-a)^2 \]
のグラフが異なる$2$点で交わるとき，$a$の範囲を求めなさい．
(2)$(1)$のとき，$2$つの曲線$y = f(x),\ y = g(x)$のグラフが囲む図形の面積を$a$で表しなさい．
(1)$2$次関数
\[ f(x) = -x^2+a,\quad g(x) = (x-a)^2 \]
のグラフが異なる$2$点で交わるとき，$a$の範囲を求めなさい．
(2)$(1)$のとき，$2$つの曲線$y = f(x),\ y = g(x)$のグラフが囲む図形の面積を$a$で表しなさい．
国立 信州大学 2011年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$a$を実数とするとき，関数
\[ f(x) = (x-a)(e^x+e^a)-2(e^x-e^a) \]
について，$x>a$ならば，$f(x) > 0$であることを示しなさい．
(2)曲線$y = e^x$上で，$x$座標が$\displaystyle a,\ b,\ \log \frac{e^a +e^b}{2} (a < b)$である点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．点$\mathrm{C}$における曲線$y = e^x$の接線の傾きは，直線$\mathrm{AB}$の傾きより大きいことを示しなさい．
(1)$a$を実数とするとき，関数
\[ f(x) = (x-a)(e^x+e^a)-2(e^x-e^a) \]
について，$x>a$ならば，$f(x) > 0$であることを示しなさい．
(2)曲線$y = e^x$上で，$x$座標が$\displaystyle a,\ b,\ \log \frac{e^a +e^b}{2} (a < b)$である点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．点$\mathrm{C}$における曲線$y = e^x$の接線の傾きは，直線$\mathrm{AB}$の傾きより大きいことを示しなさい．
国立 信州大学 2011年 第2問次の問いに答えなさい．
(1)$2$次関数
\[ f(x) = -x^2+a,\quad g(x) = (x-a)^2 \]
のグラフが異なる$2$点で交わるとき，$a$の範囲を求めなさい．
(2)$(1)$のとき，$2$つの曲線$y = f(x),\ y = g(x)$のグラフが囲む図形の面積$S$を$a$で表し，$\displaystyle S \leqq \frac{1}{3}$であることを示しなさい．
(1)$2$次関数
\[ f(x) = -x^2+a,\quad g(x) = (x-a)^2 \]
のグラフが異なる$2$点で交わるとき，$a$の範囲を求めなさい．
(2)$(1)$のとき，$2$つの曲線$y = f(x),\ y = g(x)$のグラフが囲む図形の面積$S$を$a$で表し，$\displaystyle S \leqq \frac{1}{3}$であることを示しなさい．
国立 信州大学 2011年 第3問$f(x) = x^3-3x^2 +x$とし，方程式$y = f(x)$が定める曲線を$K$とする．
(1)直線$y = 2x-3$と曲線$K$の$3$つの交点の座標を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$3$つの交点を$\mathrm{A}(a,\ f(a))$，$\mathrm{B}(b,\ f(b))$，$\mathrm{C}(c,\ f(c)) (a < b < c)$とし，曲線$K$上に点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$をとる．$p$が$b < p < c$を満たすとき，三角形$\mathrm{BPC}$の面積$S$を$p$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた面積$S$の最大値とそのときの$p$の値を求めよ．
(1)直線$y = 2x-3$と曲線$K$の$3$つの交点の座標を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$3$つの交点を$\mathrm{A}(a,\ f(a))$，$\mathrm{B}(b,\ f(b))$，$\mathrm{C}(c,\ f(c)) (a < b < c)$とし，曲線$K$上に点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$をとる．$p$が$b < p < c$を満たすとき，三角形$\mathrm{BPC}$の面積$S$を$p$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた面積$S$の最大値とそのときの$p$の値を求めよ．
国立 富山大学 2011年 第2問次の問いに答えよ．
(1)関数$y=|x^2-2x-3|$のグラフをかけ．
(2)$a$を実数とする．このとき，方程式$|\abs{x^2-2x-3|-a}=2$の実数解の個数を求めよ．
(1)関数$y=|x^2-2x-3|$のグラフをかけ．
(2)$a$を実数とする．このとき，方程式$|\abs{x^2-2x-3|-a}=2$の実数解の個数を求めよ．
国立 富山大学 2011年 第2問$\displaystyle f(x) = x^3+x^2+7x+3,\ g(x) = \frac{x^3-3x+2}{x^2+1}$とする．次の問いに答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$はただ1つの実数解をもち，その実数解$\alpha$は$-2<\alpha<0$をみたすことを示せ．
(2)曲線$y=g(x)$の漸近線を求めよ．
(3)$\alpha$を用いて関数$y=g(x)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．ただし，グラフの凹凸を調べる必要はない．
(1)方程式$f(x)=0$はただ1つの実数解をもち，その実数解$\alpha$は$-2<\alpha<0$をみたすことを示せ．
(2)曲線$y=g(x)$の漸近線を求めよ．
(3)$\alpha$を用いて関数$y=g(x)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．ただし，グラフの凹凸を調べる必要はない．
国立 富山大学 2011年 第1問$\displaystyle f(x) = x^3+x^2+7x+3,\ g(x) = \frac{x^3-3x+2}{x^2+1}$とする．次の問いに答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$はただ1つの実数解をもち，その実数解$\alpha$は$-2<\alpha<0$をみたすことを示せ．
(2)曲線$y=g(x)$の漸近線を求めよ．
(3)$\alpha$を用いて関数$y=g(x)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．ただし，グラフの凹凸を調べる必要はない．
(1)方程式$f(x)=0$はただ1つの実数解をもち，その実数解$\alpha$は$-2<\alpha<0$をみたすことを示せ．
(2)曲線$y=g(x)$の漸近線を求めよ．
(3)$\alpha$を用いて関数$y=g(x)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．ただし，グラフの凹凸を調べる必要はない．