「関数」について
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国立 埼玉大学 2011年 第3問$a$を1より大きい定数とする．$xy$平面上の点$(a \cos t,\ \sqrt{a^2-1} \sin t)$と直線$x+y = \sqrt{3}a$の距離を$f(t)$とおく．$t$が$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲を動くときの$f(t)$の最小値を$m$とする．
(1)$m$を$a$の関数として表せ．
(2)(1)で求めた$a$の関数$m$の最小値を求めよ．
(1)$m$を$a$の関数として表せ．
(2)(1)で求めた$a$の関数$m$の最小値を求めよ．
国立 埼玉大学 2011年 第3問$a$を$1$より大きい定数とする．$xy$平面上の点$(a \cos t,\ \sqrt{a^2-1} \sin t)$と直線$x+y = \sqrt{3}a$の距離を$f(t)$とおく．$t$が$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲を動くときの$f(t)$の最小値を$m$とする．
(1)$m$を$a$の関数として表せ．
(2)(1)で求めた$a$の関数$m$の最小値を求めよ．
(1)$m$を$a$の関数として表せ．
(2)(1)で求めた$a$の関数$m$の最小値を求めよ．
国立 広島大学 2011年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$a,\ b,\ c$を定数とする．関数$f(x) = a \cos^2 x+2b \cos x \; \sin x+c \sin^2 x$が定数となるための$a,\ b,\ c$の条件を求めよ．
(2)関数
\[ g(x) = 4 \cos^2 x+2 \cos x \; \sin x+ \sin^2 x -\frac{5}{2} \quad (-\frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}) \]
が最大値をとる$x$の値を$\theta$とする．$\cos 2\theta,\ \sin 2\theta$の値を求めよ．
(3)(2)の関数$g(x)$と$\theta$に対して，定積分$\displaystyle \int_0^\theta g(x) \, dx$を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c$を定数とする．関数$f(x) = a \cos^2 x+2b \cos x \; \sin x+c \sin^2 x$が定数となるための$a,\ b,\ c$の条件を求めよ．
(2)関数
\[ g(x) = 4 \cos^2 x+2 \cos x \; \sin x+ \sin^2 x -\frac{5}{2} \quad (-\frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}) \]
が最大値をとる$x$の値を$\theta$とする．$\cos 2\theta,\ \sin 2\theta$の値を求めよ．
(3)(2)の関数$g(x)$と$\theta$に対して，定積分$\displaystyle \int_0^\theta g(x) \, dx$を求めよ．
国立 埼玉大学 2011年 第4問2次関数$\displaystyle f(x) = \frac{12}{5}x^2-\frac{32}{5}x + 4$と，1次関数$g(x) = 2x- 2$が与えられている．この2つの関数$f(x)$と$g(x)$を用いて，$a \geqq 1$の範囲で$S(a)$を，以下のように定める．
\[ S(a) = \int_a^{a+1} | f(x)-g(x) | \, dx \]
このとき$S(a)$を求めなさい．
\[ S(a) = \int_a^{a+1} | f(x)-g(x) | \, dx \]
このとき$S(a)$を求めなさい．
国立 広島大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{1}{2-\sqrt{3}}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とする．不等式
\[ \frac{1}{2-\sqrt{3}} < \frac{6}{a}+\frac{k}{b} \]
を満たす$k$の値の範囲を求めよ．
(2)$a,\ b$は定数で，$a>0$とする．2次関数$f(x)=ax^2-2x+b$の定義域を$-1 \leqq x \leqq 2$とし，$f(-1)<f(2)$を満たすとする．関数$y=f(x)$の値域が$-1 \leqq y \leqq 7$であるとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle \frac{1}{2-\sqrt{3}}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とする．不等式
\[ \frac{1}{2-\sqrt{3}} < \frac{6}{a}+\frac{k}{b} \]
を満たす$k$の値の範囲を求めよ．
(2)$a,\ b$は定数で，$a>0$とする．2次関数$f(x)=ax^2-2x+b$の定義域を$-1 \leqq x \leqq 2$とし，$f(-1)<f(2)$を満たすとする．関数$y=f(x)$の値域が$-1 \leqq y \leqq 7$であるとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．
国立 岩手大学 2011年 第1問$x$の関数
\[ f(x) = \int_{-2}^x (3t^2-6t-9) \, dt \]
について，以下の問いに答えよ．
(1)積分を計算し，$f(x)$を求めよ．
(2)$f(-2)$の値を求めよ．
(3)方程式$f(x) = 0$の解をすべて求めよ．
(4)関数$f(x)$の極大値および極小値を求めよ．
(5)座標平面上の2点$(0,\ f(0)),\ (3,\ f(3))$を通る直線の方程式を求めよ．
(6)$y = f(x)$のグラフの接線のうち，(5)で求めた直線と傾きが等しいものをすべて求めよ．
\[ f(x) = \int_{-2}^x (3t^2-6t-9) \, dt \]
について，以下の問いに答えよ．
(1)積分を計算し，$f(x)$を求めよ．
(2)$f(-2)$の値を求めよ．
(3)方程式$f(x) = 0$の解をすべて求めよ．
(4)関数$f(x)$の極大値および極小値を求めよ．
(5)座標平面上の2点$(0,\ f(0)),\ (3,\ f(3))$を通る直線の方程式を求めよ．
(6)$y = f(x)$のグラフの接線のうち，(5)で求めた直線と傾きが等しいものをすべて求めよ．
国立 岩手大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$x=\sqrt{3\sqrt{2}+4},\ y=\sqrt{3\sqrt{2}-4}$のとき，$\displaystyle \frac{x}{y}+\frac{y}{x}$の値を求めよ．
(2)関数$f(x)=x^2+ax-2a+6$の$x \geqq 0$における最小値が1であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)三角形ABCの辺ABを$2:1$に内分する点をD，辺ACを$3:5$に内分する点をEとする．4点B，C，E，Dが同一円周上にあるとき，辺ABと辺ACの長さの比$\text{AB}:\text{AC}$を求めよ．
(1)$x=\sqrt{3\sqrt{2}+4},\ y=\sqrt{3\sqrt{2}-4}$のとき，$\displaystyle \frac{x}{y}+\frac{y}{x}$の値を求めよ．
(2)関数$f(x)=x^2+ax-2a+6$の$x \geqq 0$における最小値が1であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)三角形ABCの辺ABを$2:1$に内分する点をD，辺ACを$3:5$に内分する点をEとする．4点B，C，E，Dが同一円周上にあるとき，辺ABと辺ACの長さの比$\text{AB}:\text{AC}$を求めよ．
国立 金沢大学 2011年 第2問実数$x$に対して，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^2 |t-x| \, dt \]
とおく．次の問いに答えよ．
(1)関数$y=f(x)$を求め，そのグラフをかけ．
(2)$y=f(x)$の接線で傾きが1のものを$\ell$とする．$\ell$の方程式を求めよ．
(3)直線$x=-1$，接線$\ell$，曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
\[ f(x)=\int_0^2 |t-x| \, dt \]
とおく．次の問いに答えよ．
(1)関数$y=f(x)$を求め，そのグラフをかけ．
(2)$y=f(x)$の接線で傾きが1のものを$\ell$とする．$\ell$の方程式を求めよ．
(3)直線$x=-1$，接線$\ell$，曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 東京工業大学 2011年 第2問実数$x$に対して
\[ f(x) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} | \cos t - x \sin 2t | \, dt \]
とおく．
(1)関数$f(x)$の最小値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を求めよ．
\[ f(x) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} | \cos t - x \sin 2t | \, dt \]
とおく．
(1)関数$f(x)$の最小値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を求めよ．
国立 横浜国立大学 2011年 第4問$xy$平面上の2曲線$\displaystyle C_1 : y = \frac{\log x}{x}$と$C_2 : y = ax^2$は点Pを共有し，Pにおいて共通の接線をもっている．ただし，$a$は定数とする．次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle y = \frac{\log x}{x}$の増減，凹凸，変曲点を調べ，$C_1$の概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$は証明なしに用いてよい．
(2)Pの座標および$a$の値を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int \left( \frac{\log x}{x} \right)^2 \, dx$を求めよ．
(4)$C_1,\ C_2$および$x$軸で囲まれる部分を，$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
(1)関数$\displaystyle y = \frac{\log x}{x}$の増減，凹凸，変曲点を調べ，$C_1$の概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$は証明なしに用いてよい．
(2)Pの座標および$a$の値を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int \left( \frac{\log x}{x} \right)^2 \, dx$を求めよ．
(4)$C_1,\ C_2$および$x$軸で囲まれる部分を，$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ．