「関数」について
タグ「関数」の検索結果
（169ページ目：全2213問中1681問～1690問を表示）
公立 京都府立大学 2012年 第1問$a,\ b$を実数とする．関数$\displaystyle f(x)=\frac{a^x-b^x}{\sqrt{5}}$は$f(1)=1$，$f(2)=1$を満たすとする．以下の問いに答えよ．
(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$f(2)+f(3)=f(4)$が成り立つことを示せ．
(3)$x$が自然数のとき，$f(x)$も自然数となることを示せ．
(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$f(2)+f(3)=f(4)$が成り立つことを示せ．
(3)$x$が自然数のとき，$f(x)$も自然数となることを示せ．
公立 福岡女子大学 2012年 第1問$a$を定数とし，$f(x)=x^5-5x^3+ax$とする．方程式$f(x)=0$は異なる$5$つの実数解をもち，これらを$x_1<x_2<x_3<x_4<x_5$とする．この$5$つの解は等差数列をなしており，その総和は$0$である．次の問に答えなさい．
(1)$x_3=0$を示せ．
(2)$a$の値を求めよ．
(3)$x_1,\ x_2,\ x_4,\ x_5$を求めよ．
(1)$x_3=0$を示せ．
(2)$a$の値を求めよ．
(3)$x_1,\ x_2,\ x_4,\ x_5$を求めよ．
国立 豊橋技術科学大学 2011年 第3問関数$f(x)=mx \cos (mx)-\sin (mx)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$m$は正の整数とする．
(1)$f(x)$が極値をとる最も小さい正の実数$x$を，$m$を用いて表せ．
(2)$m=2$のとき，区間$0 \leqq x \leqq 2\pi$における$f(x)$の最大値を求めよ．
(3)$m=3$のとき，曲線$y=f(x)$上の点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\ f \left( \frac{\pi}{2} \right) \right)$における曲線の接線が$y$軸と交わる点の座標$(x_0,\ y_0)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_0^\pi f(x) \, dx=0$が成り立つために$m$が満たすべき条件を求めよ．
(1)$f(x)$が極値をとる最も小さい正の実数$x$を，$m$を用いて表せ．
(2)$m=2$のとき，区間$0 \leqq x \leqq 2\pi$における$f(x)$の最大値を求めよ．
(3)$m=3$のとき，曲線$y=f(x)$上の点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\ f \left( \frac{\pi}{2} \right) \right)$における曲線の接線が$y$軸と交わる点の座標$(x_0,\ y_0)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_0^\pi f(x) \, dx=0$が成り立つために$m$が満たすべき条件を求めよ．
国立 京都大学 2011年 第3問実数$a$が変化するとき，$3$次関数$y=x^3-4x^2+6x$と直線$y=x+a$のグラフの交点の個数はどのように変化するか．$a$の値によって分類せよ．
国立 東京大学 2011年 第1問$x$の3次関数$f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$が，3つの条件
\[ f(1) = 1, f(-1)=-1, \int_{-1}^{1}(bx^2+cx+d)\, dx=1 \]
を全て満たしているとする．このような$f(x)$の中で定積分
\[ I = \int_{-1}^{\frac{1}{2}} \{f^{\ \prime\prime}(x) \}^2\, dx \]
を最小にするものを求め，そのときの$I$の値を求めよ．ただし，$f^{\prime\prime}(x)$は$f^\prime(x)$の導関数を表す．
\[ f(1) = 1, f(-1)=-1, \int_{-1}^{1}(bx^2+cx+d)\, dx=1 \]
を全て満たしているとする．このような$f(x)$の中で定積分
\[ I = \int_{-1}^{\frac{1}{2}} \{f^{\ \prime\prime}(x) \}^2\, dx \]
を最小にするものを求め，そのときの$I$の値を求めよ．ただし，$f^{\prime\prime}(x)$は$f^\prime(x)$の導関数を表す．
国立 大阪大学 2011年 第2問実数の組$(p,\ q)$に対し，$f(x) = (x-p)^2+q$とおく．
(1)放物線$y=f(x)$が点$(0,\ 1)$を通り，しかも直線$y=x$の$x>0$の部分と接するような実数の組$(p,\ q)$と接点の座標を求めよ．
(2)実数の組$(p_1,\ q_1),\ (p_2,\ q_2)$に対して，$f_1(x)=(x-p_1)^2+q_1$および$f_2(x)=(x-p_2)^2+q_2$とおく．実数$\alpha,\ \beta \quad (\text{ただし}\alpha < \beta)$に対して
\[ f_1(\alpha)<f_2(\alpha) \quad \text{かつ} f_1(\beta) < f_2(\beta) \]
であるならば，区間$\alpha \leqq x \leqq \beta$において不等式$f_1(x) < f_2(x)$がつねに成り立つことを示せ．
(3)長方形$R: 0 \leqq x \leqq 1,\ 0 \leqq y \leqq 2$を考える．また，4点P$_0(0,\ 1)$，P$_1(0,\ 0)$，P$_2(1,\ 1)$，P$_3(1,\ 0)$をこの順に線分で結んで得られる折れ線を$L$とする．実数の組$(p,\ q)$を，放物線$y=f(x)$と折れ線$L$に共有点がないようなすべての組にわたって動かすとき，$R$の点のうちで放物線$y=f(x)$が通過する点全体の集合を$T$とする．$R$から$T$を除いた領域$S$を座標平面上に図示し，その面積を求めよ．
(1)放物線$y=f(x)$が点$(0,\ 1)$を通り，しかも直線$y=x$の$x>0$の部分と接するような実数の組$(p,\ q)$と接点の座標を求めよ．
(2)実数の組$(p_1,\ q_1),\ (p_2,\ q_2)$に対して，$f_1(x)=(x-p_1)^2+q_1$および$f_2(x)=(x-p_2)^2+q_2$とおく．実数$\alpha,\ \beta \quad (\text{ただし}\alpha < \beta)$に対して
\[ f_1(\alpha)<f_2(\alpha) \quad \text{かつ} f_1(\beta) < f_2(\beta) \]
であるならば，区間$\alpha \leqq x \leqq \beta$において不等式$f_1(x) < f_2(x)$がつねに成り立つことを示せ．
(3)長方形$R: 0 \leqq x \leqq 1,\ 0 \leqq y \leqq 2$を考える．また，4点P$_0(0,\ 1)$，P$_1(0,\ 0)$，P$_2(1,\ 1)$，P$_3(1,\ 0)$をこの順に線分で結んで得られる折れ線を$L$とする．実数の組$(p,\ q)$を，放物線$y=f(x)$と折れ線$L$に共有点がないようなすべての組にわたって動かすとき，$R$の点のうちで放物線$y=f(x)$が通過する点全体の集合を$T$とする．$R$から$T$を除いた領域$S$を座標平面上に図示し，その面積を求めよ．
国立 九州大学 2011年 第2問$a$を正の定数とする．以下の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)=(x^2+2x+2-a^2)e^{-x}$の極大値および極小値を求めよ．
(2)$x \geqq 3$のとき，不等式$x^3 e^{-x} \leqq 27e^{-3}$が成り立つことを示せ．さらに，極限値
\[ \lim_{x \to \infty} x^2 e^{-x} \]
を求めよ．
(3)$k$を定数とする．$y=x^2+2x+2$のグラフと$y=ke^x+a^2$のグラフが異なる$3$点で交わるための必要十分条件を，$a$と$k$を用いて表せ．
(1)関数$f(x)=(x^2+2x+2-a^2)e^{-x}$の極大値および極小値を求めよ．
(2)$x \geqq 3$のとき，不等式$x^3 e^{-x} \leqq 27e^{-3}$が成り立つことを示せ．さらに，極限値
\[ \lim_{x \to \infty} x^2 e^{-x} \]
を求めよ．
(3)$k$を定数とする．$y=x^2+2x+2$のグラフと$y=ke^x+a^2$のグラフが異なる$3$点で交わるための必要十分条件を，$a$と$k$を用いて表せ．
国立 横浜国立大学 2011年 第1問$3$次関数$f(x)=x^3-3x^2-4x+k$について，次の問いに答えよ．ただし，$k$は定数とする．
(1)$f(x)$が極値をとるときの$x$を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの整数解をもつとき，$k$の値およびその整数解を求めよ．
(1)$f(x)$が極値をとるときの$x$を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの整数解をもつとき，$k$の値およびその整数解を求めよ．
国立 横浜国立大学 2011年 第1問$3$次関数$f(x)=x^3-3x^2-4x+k$について，次の問いに答えよ．ただし，$k$は定数とする．
(1)$f(x)$が極値をとるときの$x$を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの整数解をもつとき，$k$の値およびその整数解を求めよ．
(1)$f(x)$が極値をとるときの$x$を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの整数解をもつとき，$k$の値およびその整数解を求めよ．
国立 岩手大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)複素数$\displaystyle \frac{2+i}{(1+3i)(4-i)}$の虚部を求めよ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\int_0^x \frac{6}{t^2+7t+10}\, dt$について$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)$を求めよ．
(3)30階建てのビルの11階にある人物Aがいる．Aは硬貨を投げて，表が出れば1階上へ，裏が出れば1階下へ移動する．硬貨を10回投げた後，Aが6階より下の階にいる確率を求めよ．
(1)複素数$\displaystyle \frac{2+i}{(1+3i)(4-i)}$の虚部を求めよ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\int_0^x \frac{6}{t^2+7t+10}\, dt$について$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)$を求めよ．
(3)30階建てのビルの11階にある人物Aがいる．Aは硬貨を投げて，表が出れば1階上へ，裏が出れば1階下へ移動する．硬貨を10回投げた後，Aが6階より下の階にいる確率を求めよ．