$a<-2$とする．関数$f(x)=e^x-e^{-x}+ax$を考える．

(1)$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$と$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{x}{e^x}=0$であることを用いてよい．
(2)$y=f(x)$のグラフは$x$軸と異なる$3$点で交わることを示せ．

$f(x)=x^3-2x^2-x+1$とする．

(1)方程式$f(x)=0$は$-1<\alpha<0$，$0<\beta<1$，$1<\gamma$をみたす$3$個の実数解$\alpha,\ \beta,\ \gamma$をもつことを示せ．
(2)点$(0,\ 1)$における$y=f(x)$の接線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$と$\ell$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

中心が$y$軸上にある半径$r_1$の円$C_1$が放物線$y=x^2$に$2$点で接し \\
ている．$C_n (n=2,\ 3,\ \cdots)$は$y$軸上に中心を持ち，放物線 \\
$y=x^2$に接する半径$r_n (n=2,\ 3,\ \cdots)$の円で，$C_{n-1}$と図のよ \\
うに外接している．$r_1=1$とするとき，$r_n$を$n$の関数で表せ．
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曲線$C_1:y^2=4px$と$C_2:x^2-y^2=-q$（ただし，$p>0$，$q>0$）の二つの曲線が接するとき，次の問いに答えよ．

(1)$q$を$p$を用いて表せ．また接点の座標を$p$を用いて表せ．
(2)$\sqrt{x^2+q}+x=t$と置いたとき$x$を$t$で表せ．また不定積分$\displaystyle I=\int \sqrt{x^2+q} \, dx$を$x$から$t$への置換積分により，$t$の関数として求めよ．
(3)曲線$C_1$，$C_2$と$y$軸で囲まれた部分の面積を$p$で表せ．

曲線$C:y=(\log x-2 \log 2) \log x$について次の問いに答えよ．

(1)関数の増減と凹凸を調べ，曲線$C$の概形をかけ．曲線$C$が$x$軸および$y$軸と共有点がある場合にはその点の座標を明記すること．また，極値を表す点や変曲点がある場合にはその座標を明記すること．
(2)変曲点における接線と法線の方程式を求めよ．また，接線と$x$軸との交点$\mathrm{P}$および法線と$x$軸との交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とし，変曲点から$x$軸に下ろした垂線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{QR}$の長さの積を求めよ．
(4)曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

$a$を定数とし，$f(x)=x^5-5x^3+ax$とする．方程式$f(x)=0$は異なる$5$つの実数解をもち，これらを$x_1<x_2<x_3<x_4<x_5$とする．この$5$つの解は等差数列をなしており，その総和は$0$である．次の問に答えなさい．

(1)$x_3=0$を示せ．
(2)$a$の値を求めよ．
(3)$x_1,\ x_2,\ x_4,\ x_5$を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\sin x+\frac{1}{2} \sin 2x$の定義域を$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \pi$とする．次の問に答えなさい．

(1)$f(x)>0$となる$x$の範囲と$f^\prime(x)>0$となる$x$の範囲を，それぞれ求めなさい．
(2)関数$y=f(x)$のグラフの概形を書きなさい．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．
(3)$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^\pi |f(x)| \, dx$の値を求めなさい．

次の空欄$[サ]$から$[ニ]$にあてはまる数や式を書きなさい．

$x$が範囲$0 \leqq x<2\pi$を動くとき，$x$の関数$f(x)=2 \sin x+\cos 2x+1$を考える．
$X=\sin x$とおき，$f(x)$を$X$の関数と見て$g(X)$と書くと，
\[ g(X)=[サ]X^2+[シ]X+[ス] \]
と書ける．
$x$は$0 \leqq x<2\pi$を動くから，$X$は$[セ] \leqq X \leqq [ソ]$を動くが，この範囲では，グラフの形より，$g(X)$は$X=[タ]$のとき最小値$[チ]$をとり，$X=[ツ]$のとき最大値$[テ]$をとる．
したがって，$f(x)=2 \sin x+\cos 2x+1$は$x=[ト]$のとき最小値$[チ]$をとり，$x=[ナ]$または$[ニ]$のとき最大値$[テ]$をとる．

関数$\displaystyle f(x)=\cos \frac{x^3-2x^2-4x+5}{3}$の$-1 \leqq x \leqq 3$における増減表を作り，最大値と最小値，およびそれらをとる$x$の値を求めよ．

$a$は定数で$a>1$とする．関数$\displaystyle f(x)=\frac{a}{1+(a-1)e^{-x}}$について，次の問いに答えよ．

(1)不等式$0<f(x)<a$が成り立つことを示せ．また，極限$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)$および$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$を求めよ．
(2)$a=3$のとき，$y=f(x)$のグラフの概形を，極値および変曲点を調べてかけ．
(3)$p$は定数で$p<0$とする．$a=3$のとき，定積分$\displaystyle I(p)=\int_p^0 f(x) \, dx$を求めよ．また，極限$\displaystyle \lim_{p \to -\infty}I(p)$を求めよ．