記号$(0,\ \infty)$は，正の実数全体からなる区間を表すものとする．$1$より大きい実数$r$と，区間$(0,\ \infty)$で連続な関数$f(x)$に対する，定積分
\[ \int_1^{r^2} f \left( x^3+\frac{r^6}{x^3} \right) \frac{1}{x} \, dx \quad \text{と} \quad \int_1^{r^3} f \left( x+\frac{r^6}{x} \right) \frac{1}{x} \, dx \]
について考える．

(1)$r$を$1$より大きい実数とする．

(i) 定積分$\displaystyle \int_1^{r^2} \left( x^3+\frac{r^6}{x^3} \right) \frac{1}{x} \, dx$と$\displaystyle \int_1^{r^3} \left( x+\frac{r^6}{x} \right) \frac{1}{x} \, dx$を求めよ．
(ii) 定積分$\displaystyle \int_1^{r^2} \left( x^3+\frac{r^6}{x^3} \right)^2 \frac{1}{x} \, dx$と$\displaystyle \int_1^{r^3} \left( x+\frac{r^6}{x} \right)^2 \frac{1}{x} \, dx$を求めよ．

(2)次の問いに答えよ．

(i) $1$より大きいすべての実数$r$と区間$(0,\ \infty)$で連続なすべての関数$f(x)$に対して等式
\[ \int_1^{r^2} f \left( x^3+\frac{r^6}{x^3} \right) \frac{1}{x} \, dx=a \int_1^{r^6} f \left( t+\frac{r^6}{t} \right) \frac{1}{t} \, dt \]
が成立するような，定数$a$の値を求めよ．
(ii) $1$より大きいすべての実数$r$と区間$(0,\ \infty)$で連続なすべての関数$f(x)$に対して等式
\[ \int_1^{r^3} f \left( x^3+\frac{r^6}{x} \right) \frac{1}{x} \, dx=b \int_{r^3}^{r^6} f \left( t+\frac{r^6}{t} \right) \frac{1}{t} \, dt \]
が成立するような，定数$b$の値を求めよ．
(iii) $1$より大きいすべての実数$r$と区間$(0,\ \infty)$で連続なすべての関数$f(x)$に対して等式
\[ \int_1^{r^2} f \left( x^3+\frac{r^6}{x^3} \right) \frac{1}{x} \, dx=c \int_{1}^{r^3} f \left( x+\frac{r^6}{x} \right) \frac{1}{x} \, dx \]
が成立するような，定数$c$の値を求めよ．

以下の問いに答えなさい．

(1)関数$y=x^{\sqrt{x}}$（ただし，$x>0$）について，導関数$y^\prime$を求め，$y^\prime=0$となる$x$の値を求めなさい．
(2)連立不等式
\setstretch{2}
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle\frac{1}{4}x^2 \leqq y \leqq \displaystyle\frac{1}{2}x^2 \\
\displaystyle\frac{1}{4}y^2 \leqq x \leqq \displaystyle\frac{1}{2}y^2 \\
x>0 \\
y>0
\end{array} \right. \]
\setstretch{1.4}
で表される領域の面積を求めなさい．

$a,\ b$を定数とする．$2$次関数$f(x)=x^2+ax+b$に対して，$1$次関数$g(x)$が$f(x)=(x-2)g(x)$を満たしており，$g(2)=3$である．放物線$y=f(x)$上の点$(2,\ f(2))$における接線を$\ell$とする．このとき

(1)定数$a,\ b$の値は$a=[アイ]$，$b=[ウエ]$である．
(2)直線$\ell$の方程式は$y=[オ]x-[カ]$である．
(3)直線$\ell$，直線$y=g(x)$および$x$軸で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]}$である．

(4)放物線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[コサ]}{[シ]}$である．

関数$f(x)=xe^{-x} (0 \leqq x \leqq 3)$とする．曲線$y=f(x)$，$x$軸および直線$x=3$で囲まれる図形を$G$とする．

(1)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)=[ア]$である．
(2)関数$f(x)$の極値は$[イ]$である．
(3)曲線$y=f(x)$の変曲点の座標は$[ウ]$である．
(4)図形$G$の面積は$[エ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$3x^2+6x-2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．

(i) $\displaystyle \alpha^2\beta+\alpha\beta^2=\frac{[ア]}{[イ]}$である．

(ii) $\displaystyle (\alpha-\beta)^2=\frac{[ウエ]}{[オ]}$である．

(iii) $\alpha^3+\beta^3=[カキク]$である．

(2)平面上の$3$点$(-1,\ 9)$，$(0,\ 3)$，$(2,\ 3)$を通る放物線の方程式は$y=[ケ]x^2-[コ]x+[サ]$である．
(3)$\displaystyle f(x)=(\log_3 27x)(\log_3 \frac{x}{3})=(\log_3 x)^2+[シ] \log_3 x-[ス]$である．$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[セ]}{[ソ]}$で最小値$[タチ]$をとる．
(4)$7$個の小石を$3$人の子供$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に配る．このとき，$1$個ももらえない子供はいないとする．また，小石は互いに区別されないものとする．

(i) 小石の配り方は$[ツテ]$通りである．
(ii) 子供$\mathrm{A}$にちょうど$3$個の小石が配られる確率は$\displaystyle \frac{[ト]}{[ナ]}$である．

以下の問の$[$40$]$～$[$49$]$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

$y=|f(x)|$のグラフと$2$直線$\ell,\ m$に囲まれた部分の面積を考える．ただし$f(x)$は，等式
\[ f(x)=\frac{1}{4}x^2+\frac{15}{4} \int_{-2}^0 xf(t) \, dt-\frac{4}{3} \int_{-3}^3 \{f(t)+6\} \, dt \]
を満たし，直線$\ell$は$y=|f(x)|$の$x=8$における接線である．また直線$m$は，直線$\ell$と$y=|f(x)|$の交点と点$(1,\ 3)$の$2$点を通る，傾き負の直線である．

(1)$\displaystyle f(x)=\frac{[$40$]}{[$41$]}x^2-[$42$]x-[$43$]$である．

(2)直線$m$の方程式は$y=-[$44$]x+[$45$]$である．
(3)$y=|f(x)|$のグラフと$2$直線$\ell,\ m$に囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[$46$][$47$][$48$]}{[$49$]}$である．

以下の問の$[$50$]$～$[$63$]$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

関数$\displaystyle y=-4a \sin^2 \frac{\theta}{2}-3 \sin 2\theta-4 \cos 2\theta-6a \sin \theta+2a+10$がある．

(1)$3 \sin \theta-\cos \theta=t$とおくと，$y=t^2-[$50$]at+[$51$]$である．
(2)$a$の値の範囲が$-5<a<5$のとき，この関数の最大値$y_{\max}$のとりうる値の範囲は
\[ [$52$][$53$] \leqq y_{\max}<[$54$][$55$]+[$56$][$57$] \sqrt{[$58$][$59$]} \]
である．
(3)この関数の最小値が$-15$であるとき$\displaystyle a=\pm \frac{[$60$] \sqrt{[$61$][$62$]}}{[$63$]}$である．

関数$f(x)=x^2e^{-x}$に対し，以下の設問に答えよ．ここで$e$は自然対数の底を表す．

(1)$x \geqq 0$における$f(x)$の最大値，およびそのときの$x$の値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を求めよ．

$xy$平面上の点$(1,\ 4)$を通り，また，曲線$y=f(x)=x^3+3x^2+x+7$と$1$点で接し，他の$1$点で交わる直線の方程式をすべて求めなさい．

$0$以上の実数$t$に対し，$F(t)=\displaystyle\int_0^1 |x^2-t^2| \, dx$とする．次の問いに答えよ．

(1)$F(t)$を$t$を用いて表せ．
(2)$t \geqq 0$において，関数$F(t)$が最小値をとるときの$t$の値を求めよ．