$2$次関数$f(x)=x^2+ax$（$a$は実数）に対し，$\displaystyle S(a)=\int_0^2 |f^\prime(x)| \, dx$で関数$S(a)$を定義する．

(1)$a=2$のとき，関数$y=|f^\prime(x)|$のグラフの概形を描きなさい．
(2)関数$S(a)$のグラフの概形を描きなさい．

次は，下図で示されたような原子力発電所等でみられる冷却塔のモデルである．
\[ f(x)=\frac{x-3}{2}+\frac{2}{x-5},\quad 0 \leqq x \leqq \frac{7}{2} \]
とするとき$y=f(x)$のグラフを$x$軸のまわりに$1$回転させてできる図形を考える．
（図は省略）

(1)$f(x)$は$x=[$13$]$において最大値$[$14$]$をとり，$x=[$15$]$において最小値$[$16$]$をとる．
(2)この図形の内部の体積は$[$17$]$である．

糸の長さ$L$，おもりの質量$m$の振り子の振れの角（水平面に垂直な直線と糸がなす角）の大きさを$\theta$とすると，$\theta$は時刻$t$の関数として
\[ mL \frac{d^2 \theta}{dt^2}=-mg \theta \cdots\cdots (*) \]
を満たす．ただし重力加速度$g$は一定とする．

(1)$\theta=a \cos (2 \pi \nu t+\delta)$（ただし$\nu,\ a,\ \delta$は定数で$\nu>0$，$a \neq 0$）が時刻$t=t_1$で極大値をとり，その後初めて極小値をとる時刻を$t=t_2$とするとき，$t_2-t_1=[$4$]$である．
(2)$(1)$の$\theta$が$(*)$を満たすとき，$\nu$を求めると$\nu=[$5$]$である．
(3)$(2)$の$\theta$に対して時刻$t$におけるこの振り子のエネルギー$E(t)$を
\[ E(t)=\frac{1}{2} mL^2 \left( \frac{d\theta}{dt} \right)^2+\frac{1}{2}mgL \theta^2 \]
で与えるものとする．このとき$\displaystyle \frac{dE(t)}{dt}=[$6$]$である．

$a$を定数とし，$\displaystyle f(x)=\frac{\cos 2x-(a+2) \cos x+a+1}{\sin x}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)極限$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\cos x-1}{x^2}$を求めよ．

(2)等式$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=\frac{1}{2}$が成り立つように定数$a$の値を求めよ．

(3)上の$(2)$で求めた$a$の値に対して定積分$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{f(x)} \, dx$を求めよ．

次の文章中の$[　]$に適する式または数値を記入せよ．

(1)$xy$平面における放物線
\[ y=x^2-4x+1 \]
は放物線$y=x^2$を$x$軸方向に$[ア]$，$y$軸方向に$[イ]$だけ平行移動することによって得られる．関数
\[ y=x^2-4x+1 \quad (a \leqq x \leqq a+1) \]
の最小値を$m$とおく．ただし，$a$は実数である．$a<1$の場合は$m=[ウ]$であり，$1 \leqq a \leqq 2$の場合は$m=[エ]$であり，$a>2$の場合は$m=[オ]$である．
(2)${(2x^2-xy-3y^2)}^5$の展開式における$x^5y^5$の係数を求めよう．二項定理により
\[ \begin{array}{lll}
{(2x^2-xy-3y^2)}^5 &=& \displaystyle\left\{ (2x^2-xy)-3y^2 \right\}^5 \\
&=& (2x^2-xy)^5+5(2x^2-xy)^4(-3y^2) \\
& & +[カ](2x^2-xy)^3(-3y^2)^2+10(2x^2-xy)^2(-3y^2)^3 \\
& & +5(2x^2-xy)(-3y^2)^4 +(-3y^2)^5
\end{array} \]
が成り立つ．$(2x^2-xy)^5$の展開式における$x^5y^5$の係数は$[キ]$であり，$5(2x^2-xy)^4(-3y^2)$の展開式における$x^5y^5$の係数は$[ク]$である．さらに，$[カ](2x^2-xy)^3(-3y^2)^2$の展開式における$x^5y^5$の係数は$[ケ]$である．また，$10(2x^2-xy)^2(-3y^2)^3+5(2x^2-xy)(-3y^2)^4+(-3y^2)^5$の展開式における$x^5y^5$の係数は$0$である．よって${(2x^2-xy-3y^2)}^5$の展開式における$x^5y^5$の係数は$[コ]$である．

$a$は$a>2$を満たす実数とする．$f(x)=x^3-a^2x$，$g(x)=-x^2+a^2$とおく．次の問いに答えよ．

(1)$xy$平面において，$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフは$3$つの共有点をもつことを示し，$3$つの共有点の座標をすべて求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフの$3$つの共有点を，$x$座標の小さいほうから順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．点$\mathrm{B}$における$y=f(x)$の接線を$\ell$とし，$\ell$と$y=g(x)$のグラフとの共有点のうち点$\mathrm{B}$以外の点を$\mathrm{D}$とする．直線$\ell$の方程式と点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(3)$y=g(x)$のグラフと直線$\ell$で囲まれ，$x \geqq 0$の範囲にある部分の面積を求めよ．

以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式等を求めて記入せよ．

(1)関数$\displaystyle f(x)=\cos^4 x-\sin^4 x+\frac{1}{2} \sin x \sin 2x+3 \cos x (0 \leqq x \leqq \pi)$とする．$t=\cos x$とおき$f(x)$を$t$の式で表すと，$f(x)=[　]$である．$f(x)$は$\cos x=[　]$のとき最大値$[　]$をとり，$\cos x=[　]$のとき最小値$[　]$をとる．
(2)半円$C_1:x^2+y^2=2 (y \geqq 0)$と放物線$C_2:y=ax^2+1-a (a<-1)$とで囲まれた図形の面積$S$を求めたい．

(i) $C_1$と$C_2$の交点を求めると$[　]$である．
(ii) $C_1$と$C_2$のグラフおよび$(1)$で求めた交点を図示せよ．
(iii) 面積$S=[　]$である．

次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{3 \sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=[ア]+\sqrt{[イウ]}$である．
(2)整式$x^3-4x^2+7x+1$を$x^2-3x+2$で割った余りは$[エ]x+[オ]$である．
(3)$\displaystyle 3^{2x} \leqq \frac{9}{{27}^x}$をみたす$x$の範囲は$\displaystyle x \leqq \frac{[カ]}{[キ]}$である．
(4)直線$2x+3y+5=0$と点$(-4,\ 1)$において垂直に交わる直線の方程式は$\displaystyle y=\frac{[ク]}{[ケ]}x+[コ]$である．
(5)円$x^2+y^2=9$と円$x^2+(y+a)^2=9$が共有点をもつような定数$a$の値の範囲は$[サシ] \leqq a \leqq [ス]$である．
(6)$\overrightarrow{a}=(k,\ -2k,\ 5)$が$\overrightarrow{b}=(1,\ -2,\ -2)$に垂直であるとき，$k=[セ]$であり，$|\overrightarrow{a}|=[ソ] \sqrt{[タ]}$である．
(7)$1$個のサイコロを振り，出た目を$4$で割った余りを$X$とする．$X=1$となる確率は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$であり，また，$X$の期待値は$\displaystyle \frac{[テ]}{[ト]}$である．
(8)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-ax^2+3x+1$（$a$は定数）が$x=3$で極値をとるとき，$a=[ナ]$であり，極大値は$\displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}$である．

次の各問に答えよ．

(1)$A=2x^2-xy-3y^2+3x+8y-5$を因数分解せよ．また，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{7}-2}{2},\ y=\frac{1}{\sqrt{7}-2}$のとき，$A$の値を求めよ．
(2)方程式$\displaystyle |-\abs{x|+4}=\frac{1}{2}x+1$の解を求めよ．
(3)$2$次関数$f(x)=ax^2+2ax+a+b$（$a,\ b$は定数）が区間$-2 \leqq x \leqq 2$において最大値$4$，最小値$1$をとるように$a,\ b$の値を定めよ．

関数$f(x)=-2x^3+3x^2+12x-5$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$が$x=a$で極小となり，$x=b$で極大となるとする．$f(b)-f(a)$を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(4)定積分$\displaystyle \int_a^b (f^\prime(x)+ab) \, dx$を求めよ．