「関数」について
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私立 神奈川大学 2012年 第3問関数$\displaystyle f(x)=\log_2 8x \cdot \log_{\frac{1}{2}} \frac{4}{x}$について，以下の問いに答えよ．
(1)$t=\log_2x$とするとき，$f(x)$を$t$の関数$g(t)$として表せ．
(2)$(1)$で求めた関数を$s=g(t)$とするとき，この関数のグラフを座標平面上にえがけ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{4} \leqq x \leqq 16$であるとき，$f(x)$の最大値，最小値とそのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．
(1)$t=\log_2x$とするとき，$f(x)$を$t$の関数$g(t)$として表せ．
(2)$(1)$で求めた関数を$s=g(t)$とするとき，この関数のグラフを座標平面上にえがけ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{4} \leqq x \leqq 16$であるとき，$f(x)$の最大値，最小値とそのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．
私立 神奈川大学 2012年 第1問次の空欄を適当に補え．
(1)方程式$8 \times 8^x+7 \times 4^x=2^x$の解は$x=[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$\mathrm{O}$を原点$(0,\ 0,\ 0)$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(p,\ q,\ r)$が，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$を通る平面に垂直で，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=1$，$p>0$を満たしているとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)$a_1=8$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{5}{4}a_n-10 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)正八面体の各面に$1$から$8$の数字を$1$つずつ書いた八面体サイコロが$2$つある．この$2$つを同時に投げたとき，少なくとも$1$つは$1$の目が出る確率は$[$(\mathrm{d])$}$である．
(5)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$は，$x=[$(\mathrm{e])$}$のとき最大値をとる．
(6)$a \neq 0$とする．方程式$x^3-(a+1)x+a=0$が$1$以外の解を重解としてもつとき，$a=[$(\mathrm{f])$}$であり，そのときの重解は$x=[$(\mathrm{g])$}$である．
(1)方程式$8 \times 8^x+7 \times 4^x=2^x$の解は$x=[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$\mathrm{O}$を原点$(0,\ 0,\ 0)$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(p,\ q,\ r)$が，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$を通る平面に垂直で，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=1$，$p>0$を満たしているとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)$a_1=8$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{5}{4}a_n-10 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)正八面体の各面に$1$から$8$の数字を$1$つずつ書いた八面体サイコロが$2$つある．この$2$つを同時に投げたとき，少なくとも$1$つは$1$の目が出る確率は$[$(\mathrm{d])$}$である．
(5)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$は，$x=[$(\mathrm{e])$}$のとき最大値をとる．
(6)$a \neq 0$とする．方程式$x^3-(a+1)x+a=0$が$1$以外の解を重解としてもつとき，$a=[$(\mathrm{f])$}$であり，そのときの重解は$x=[$(\mathrm{g])$}$である．
私立 関西大学 2012年 第1問$x$の関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x^2}$に対して，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求め，$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$f(x)$の第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$を求め，さらに$f^{\prime\prime}(x)=0$を満たす$x$の値を求めよ．
(3)$x>0$において，$2 \sqrt{x}-\log x>0$を示せ．
(4)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2}$を求めよ．
(5)$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \int_1^a f(x) \, dx=\int_1^c f(x) \, dx$を満たす正の定数$c$を求めよ．
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求め，$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$f(x)$の第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$を求め，さらに$f^{\prime\prime}(x)=0$を満たす$x$の値を求めよ．
(3)$x>0$において，$2 \sqrt{x}-\log x>0$を示せ．
(4)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2}$を求めよ．
(5)$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \int_1^a f(x) \, dx=\int_1^c f(x) \, dx$を満たす正の定数$c$を求めよ．
私立 関西大学 2012年 第3問関数$f(x)=|x(x+2)|$のグラフを$C$とする．次の$[ ]$をうめよ．
(1)$k$を定数とし，直線$y=x+k$を$\ell$とする．$C$と$\ell$が共有点を持たないのは，$k$の値が$[$①$]$の範囲のときである．共有点が$1$個であるのは，$k$の値が$[$②$]$のときである．共有点が$2$個であるのは，$k$の値が$[$③$]$の範囲のときであり，共有点が$3$個であるのは，$k$の値が$[$④$]$のときであり，共有点が$4$個であるのは，$k$の値が$[$⑤$]$の範囲のときである．
(2)$C$と直線$y=1$とで囲まれる部分の面積を$S$とするとき，$S$の値は$S=[$⑥$](\sqrt{2}-1)$である．
(1)$k$を定数とし，直線$y=x+k$を$\ell$とする．$C$と$\ell$が共有点を持たないのは，$k$の値が$[$①$]$の範囲のときである．共有点が$1$個であるのは，$k$の値が$[$②$]$のときである．共有点が$2$個であるのは，$k$の値が$[$③$]$の範囲のときであり，共有点が$3$個であるのは，$k$の値が$[$④$]$のときであり，共有点が$4$個であるのは，$k$の値が$[$⑤$]$の範囲のときである．
(2)$C$と直線$y=1$とで囲まれる部分の面積を$S$とするとき，$S$の値は$S=[$⑥$](\sqrt{2}-1)$である．
私立 関西大学 2012年 第3問次の$[ ]$を数値でうめよ．
放物線$y=ax^2+bx+c$の頂点の$x$座標は$\displaystyle \frac{11}{12}$であり，この放物線は$x$座標が$1$の点で直線$\displaystyle y=\frac{x}{3}+1$に接している．このとき，$a=[$①$]$，$b=[$②$]$，$c=[$③$]$である．この$a,\ b,\ c$に対し，$f(x)$を
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{lll}
ax^2+bx+c & & x \leqq 1 \\ \\
\displaystyle \frac{x}{3}+1 & & x>1
\end{array} \right. \]
と定め
\[ F(t)=\int_t^{t+1} f(x) \, dx \]
とおく．このとき，$F(t)$は$0 \leqq t \leqq 1$である$t$に対し
\[ F(t)=[$④$]t^3+[$⑤$]t^2-[$⑥$]t+\frac{11}{6} \]
と表される．$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$F(t)$の値が最小になるのは$t=[$④chi$]$のときである．
放物線$y=ax^2+bx+c$の頂点の$x$座標は$\displaystyle \frac{11}{12}$であり，この放物線は$x$座標が$1$の点で直線$\displaystyle y=\frac{x}{3}+1$に接している．このとき，$a=[$①$]$，$b=[$②$]$，$c=[$③$]$である．この$a,\ b,\ c$に対し，$f(x)$を
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{lll}
ax^2+bx+c & & x \leqq 1 \\ \\
\displaystyle \frac{x}{3}+1 & & x>1
\end{array} \right. \]
と定め
\[ F(t)=\int_t^{t+1} f(x) \, dx \]
とおく．このとき，$F(t)$は$0 \leqq t \leqq 1$である$t$に対し
\[ F(t)=[$④$]t^3+[$⑤$]t^2-[$⑥$]t+\frac{11}{6} \]
と表される．$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$F(t)$の値が最小になるのは$t=[$④chi$]$のときである．
私立 関西大学 2012年 第4問次の$[ ]$をうめよ．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2+3x}+x)$の値は$[$①$]$である．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \comb{n}{k}$を計算すると$[$②$]$となる．
(3)座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，$t$を実数とする．どのような$t$の値に対しても，点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \cos t,\ \frac{-1+\sin t}{\sqrt{2}},\ \frac{1+\sin t}{\sqrt{2}} \right)$は原点を中心とする半径$[$③$]$の球面上にある．また，実数$s$に対して，点$\mathrm{Q}(0,\ s,\ -s)$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QP}}=0$となるような$s$の値は$s=0$と$s=[$④$]$である．
(4)媒介変数表示
\[ x=3^{t+1}+3^{-t+1}+1,\quad y=3^t-3^{-t} \]
で表される図形は，$x,\ y$についての方程式$[$⑤$]=1$で定まる双曲線$C$の$x>0$の部分である．また，$C$の漸近線で傾きが正の漸近線の方程式は$y=[$⑥$]$である．
(5)$\theta$の関数$\displaystyle \sin \theta \sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right) \sin \left( \theta-\frac{\pi}{3} \right)$は，定数$a,\ b$を用いて$a \sin^3 \theta+b \sin \theta$と表すことができる．$a,\ b$の組$(a,\ b)$は$[$④chi$]$である．
(6)無限級数の和として定義される関数
\[ f(x)=x^2+\frac{x^2}{1+2x^2}+\frac{x^2}{(1+2x^2)^2}+\cdots +\frac{x^2}{(1+2x^2)^n}+\cdots \]
について，$\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)$の値は$[$\maruhachi$]$である．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2+3x}+x)$の値は$[$①$]$である．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \comb{n}{k}$を計算すると$[$②$]$となる．
(3)座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，$t$を実数とする．どのような$t$の値に対しても，点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \cos t,\ \frac{-1+\sin t}{\sqrt{2}},\ \frac{1+\sin t}{\sqrt{2}} \right)$は原点を中心とする半径$[$③$]$の球面上にある．また，実数$s$に対して，点$\mathrm{Q}(0,\ s,\ -s)$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QP}}=0$となるような$s$の値は$s=0$と$s=[$④$]$である．
(4)媒介変数表示
\[ x=3^{t+1}+3^{-t+1}+1,\quad y=3^t-3^{-t} \]
で表される図形は，$x,\ y$についての方程式$[$⑤$]=1$で定まる双曲線$C$の$x>0$の部分である．また，$C$の漸近線で傾きが正の漸近線の方程式は$y=[$⑥$]$である．
(5)$\theta$の関数$\displaystyle \sin \theta \sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right) \sin \left( \theta-\frac{\pi}{3} \right)$は，定数$a,\ b$を用いて$a \sin^3 \theta+b \sin \theta$と表すことができる．$a,\ b$の組$(a,\ b)$は$[$④chi$]$である．
(6)無限級数の和として定義される関数
\[ f(x)=x^2+\frac{x^2}{1+2x^2}+\frac{x^2}{(1+2x^2)^2}+\cdots +\frac{x^2}{(1+2x^2)^n}+\cdots \]
について，$\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)$の値は$[$\maruhachi$]$である．
私立 広島修道大学 2012年 第1問次の各問に答えよ．
(1)方程式$|x-2|+|3x+3|=11$を解け．
(2)連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x+3y=14 \\
\log_{\sqrt{2}} (x-y)=2
\end{array} \right. \]
を解け．
(3)$a,\ b,\ c$を定数とする．関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$が$f(3)=16$，$f^\prime(2)=f^\prime(-2)=9$を満たすとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(4)$(3)$で求めた関数$f(x)$の増減を調べて，極値を求めよ．
(1)方程式$|x-2|+|3x+3|=11$を解け．
(2)連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x+3y=14 \\
\log_{\sqrt{2}} (x-y)=2
\end{array} \right. \]
を解け．
(3)$a,\ b,\ c$を定数とする．関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$が$f(3)=16$，$f^\prime(2)=f^\prime(-2)=9$を満たすとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(4)$(3)$で求めた関数$f(x)$の増減を調べて，極値を求めよ．
私立 広島修道大学 2012年 第3問次の問に答えよ．
(1)$a,\ m$を定数とする．関数$y=x^3+3x^2+mx+m$が区間$x \leqq a$，$a+2 \leqq x$で増加し，区間$a \leqq x \leqq a+2$で減少するように$a$と$m$の値を定めよ．
(2)不等式$(x^{\log_3 x})^2+x^{5 \log_x3}-84 x^{\log_3x}<0$を解け．
(1)$a,\ m$を定数とする．関数$y=x^3+3x^2+mx+m$が区間$x \leqq a$，$a+2 \leqq x$で増加し，区間$a \leqq x \leqq a+2$で減少するように$a$と$m$の値を定めよ．
(2)不等式$(x^{\log_3 x})^2+x^{5 \log_x3}-84 x^{\log_3x}<0$を解け．
私立 広島修道大学 2012年 第1問空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．
(1)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle \frac{1}{3}x-7 \leqq 2 \\ \\
\displaystyle \frac{3}{2}x+3>-\frac{3}{4}x+1
\end{array} \right. \]
の解は$[$1$]$である．
(2)$2$点$(5,\ 1)$，$(-2,\ 4)$を通る直線の方程式は$[$2$]$である．
(3)直線$y=ax-3$が放物線$y=x^2-4x+3a$の接線であるとき，定数$a$の値は$[$3$]$である．
(4)$\displaystyle \sqrt{3} \sin \frac{\pi}{4}-\sqrt{6} \cos \frac{\pi}{3}$の値は$[$4$]$，$\displaystyle \sin \frac{\pi}{9} \sin \frac{\pi}{18}-\cos \frac{\pi}{9} \cos \frac{\pi}{18}$の値は$[$5$]$である．
(5)赤玉が$4$つ，青玉が$3$つ，黄玉が$2$つある．これらすべての玉を$1$列に並べる並べ方は$[$6$]$通りである．これらの玉をすべて$1$つの袋に入れ，そのうち$3$つを同時に取り出すとき，異なる色の玉を取り出す確率は$[$7$]$であり，赤玉$2$つ，青玉$1$つを取り出す確率は$[$8$]$である．また，すべての玉が入った袋から玉を$4$つ同時に取り出すとき，青玉が少なくとも$1$つ含まれる確率は$[$9$]$である．
(6)$2$次関数$f(x)$は，$\displaystyle x=-\frac{3}{4}$で極値をとり，$f(-1)=-2$，$f^\prime(2)=11$を満たす．このとき，$f(x)=[$10$]$であり，$\displaystyle \int_{-1}^2 f(x) \, dx$の値は$[$11$]$である．
(1)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle \frac{1}{3}x-7 \leqq 2 \\ \\
\displaystyle \frac{3}{2}x+3>-\frac{3}{4}x+1
\end{array} \right. \]
の解は$[$1$]$である．
(2)$2$点$(5,\ 1)$，$(-2,\ 4)$を通る直線の方程式は$[$2$]$である．
(3)直線$y=ax-3$が放物線$y=x^2-4x+3a$の接線であるとき，定数$a$の値は$[$3$]$である．
(4)$\displaystyle \sqrt{3} \sin \frac{\pi}{4}-\sqrt{6} \cos \frac{\pi}{3}$の値は$[$4$]$，$\displaystyle \sin \frac{\pi}{9} \sin \frac{\pi}{18}-\cos \frac{\pi}{9} \cos \frac{\pi}{18}$の値は$[$5$]$である．
(5)赤玉が$4$つ，青玉が$3$つ，黄玉が$2$つある．これらすべての玉を$1$列に並べる並べ方は$[$6$]$通りである．これらの玉をすべて$1$つの袋に入れ，そのうち$3$つを同時に取り出すとき，異なる色の玉を取り出す確率は$[$7$]$であり，赤玉$2$つ，青玉$1$つを取り出す確率は$[$8$]$である．また，すべての玉が入った袋から玉を$4$つ同時に取り出すとき，青玉が少なくとも$1$つ含まれる確率は$[$9$]$である．
(6)$2$次関数$f(x)$は，$\displaystyle x=-\frac{3}{4}$で極値をとり，$f(-1)=-2$，$f^\prime(2)=11$を満たす．このとき，$f(x)=[$10$]$であり，$\displaystyle \int_{-1}^2 f(x) \, dx$の値は$[$11$]$である．
私立 広島修道大学 2012年 第3問$2$次関数$f(x)=x^2-4x+2$について次の問に答えよ．
(1)放物線$y=f(x)$の頂点の座標を求めよ．また，この放物線と$x$軸との交点の座標を求めよ．
(2)$a$を実数とするとき，$a \leqq x \leqq a+2$における関数$f(x)$の最大値，最小値を求めよ．
(1)放物線$y=f(x)$の頂点の座標を求めよ．また，この放物線と$x$軸との交点の座標を求めよ．
(2)$a$を実数とするとき，$a \leqq x \leqq a+2$における関数$f(x)$の最大値，最小値を求めよ．