$a,\ b$を正の定数とし，関数$f(x)=2x^3-3ax^2$と座標平面上の$2$つの曲線$C_1:y=f(x)$，$C_2:y=f(x)+b$を考える．

(1)$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)区間$0 \leqq x \leqq 5$における$f(x)$の最小値を$a$で表せ．
(3)$a=1,\ b=5$として，同一平面上に$C_1$と$C_2$を図示せよ．
(4)$1$つの直線が$C_1$，$C_2$の両方の接線であるとき，その直線を$C_1$，$C_2$の共通接線という．$a=1$のとき，$C_1$と$C_2$に，傾き$12$の共通接線があるように$b$の値を定めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$\displaystyle \left( \frac{1}{9} \right)^x-4 \left( \frac{1}{3} \right)^{x-1}+27 \leqq 0$を満たす$x$の範囲は$[ア]$であり， \\
$\log_2 \left( \log_5 (x+1)+\log_5 (x+3) \right)<1$を満たす$x$の範囲は$[イ]$である．
(2)整式$P(x)$を$(x+1)(x-2)$で割ると余りは$2x+9$，$(x+1)(x+2)$で割ると余りは$-10x-3$になる．このとき$P(x)$を$(x+1)(x-2)(x+2)$で割ると，余りは$[ウ]$となる．また，$P(x)$を$(x-2)(x+2)$で割ると，余りは$[エ]$となる．
(3)関数$f(x)=x^3+3ax^2+b (b>0)$があり，方程式$f(x)=0$は$3$つの異なる実数解をもつ．このとき，実数$a$と$b$が満たす関係は$[オ]$であり，$f(x) \leqq f(0)$となる$x$の範囲は$[カ]$である．
(4)面積が$S$の正方形がある．この正方形の$4$辺をそれぞれ$1:3$に内分する点をとり，これら$4$つの内分点を頂点とする新たな正方形をつくる．この操作によってできる新たな正方形の面積は$[キ]$である．新たにできた正方形に同じ操作をほどこして，さらに新しい正方形をつくる．この操作を少なくとも$[ク]$回おこなうと，最後にできた正方形の面積が$\displaystyle \frac{1}{100}S$以下になる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(5)放物線$y=x^2$上に異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をとり，$\mathrm{A}$における接線を$\ell$とする．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$a,\ b$とし，線分$\mathrm{AB}$を$t:1-t$に内分する点$\mathrm{P}$をとる（$0<t<1$）．$\mathrm{P}$を通り$y$軸と平行な直線が，$\ell$と交わる点を$\mathrm{Q}$，放物線と交わる点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{QR}$の長さは$[ケ]$であり，$\mathrm{QR}:\mathrm{RP}=[コ]$である．

$a$は実数とする．$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt=3x^3-5x^2-4x+4$のとき，以下の問に答えよ．

(1)$f(x)=[サ]x^2-[シス]x-[セ]$である．

(2)$a$の値は小さい順に$[ソタ]$，$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$，$[テ]$である．
(3)$\displaystyle b \int_{x-1}^{x+1}f(t) \, dt+cx=xf^\prime(x)-2$を満たす$b,\ c$は，$b=[ト]$，$c=[ナニ]$である．

次の問いに答えなさい．

(1)関数$y=\sin^2 x+4 \sin x \cos x+5 \cos^2 x$の最大値と最小値を求めなさい．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^{99} \log_{10} \frac{k}{k+1}$を求めなさい．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^1 (x+1)e^x \, dx$を求めなさい．

$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲で関数
\[ f(x)=x+1-\cos x+\sqrt{3} \sin x \]
を考える．

(1)$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフを描きなさい．
(2)曲線$y=f(x)$，$x$軸，直線$x=2\pi$で囲まれた部分の面積を求めなさい．

以下の問いに答えなさい．

(1)$2$次関数$y=x^2-1$と$1$次関数$y=x+1$，$y=-2x$の$3$つのグラフをかきなさい．
(2)次の連立不等式の表す図形の面積を$S_1$とする．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2-1 \\
y \leqq x+1 \\
y \geqq 0
\end{array} \right. \]
このとき$S_1$の値を求めなさい．
(3)次の連立不等式の表す図形の面積を$S_2$とする．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2-1 \\
x \geqq 0 \\
y \leqq -2x
\end{array} \right. \]
このとき$S_2$の値を求めなさい．

$a,\ b$を正の実数とする．$3$次関数
\[ f(x)=ax(x-b)^2 \]
は$f(4)=27$をみたし，$0<x<4$において極大値$2$をもつ．$a,\ b$を求めよ．

$p$を定数として，関数$f(x)$を
\[ f(x)=e^x-\left( 1+\frac{1}{2}x \right) (1+px) \]
と定める．

(1)$p=0$のとき，$x \geqq 0$ならば$f(x) \geqq 0$であることを示せ．
(2)「$x \geqq 0$ならば$f(x) \geqq 0$」が成り立つような定数$p$の取り得る値の範囲を求めよ．

正の実数$x$に対して
\[ f(x)=\int_x^{2x} (t \log t-t) \, dt \]
とおく．$f(x)$の最小値と，最小値を与える$x$を求めよ．

$\log x$は自然対数，$e$は自然対数の底を表す．

(1)$a,\ b$は$e^{-1}<a<1,\ b>0$を満たす実数とする．曲線$C:y=\log x$と直線$\ell:y=ax+b$とが接しているとすると，
\[ b=[モ] \log a+[ヤ] \]
が成り立つ．このとき，曲線$C$と$3$つの直線$\ell$，$x=1$，$x=e$とで囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．$a$が$e^{-1}<a<1$の範囲を動くときの$S(a)$の最小値は
\[ \left( [ユ]e+[ヨ] \right) \log \left( \frac{e+[ラ]}{[リ]} \right) +[ル] \]
で与えられる．
(2)$k$を正の定数とし，$e^{-k}<t<1$である$t$に対して，
\[ f(t)=\int_0^k |e^{-x|-t} \, dx \]
とおく．$t$が$e^{-k}<t<1$の範囲を動くときの関数$f(t)$の最小値を$M(k)$とおくと，
\[ M(k)=\left( [レ]+e^P \right)^2,\quad \text{ただし} P=\frac{[ロ]}{[ワ]}k \]
となる．このとき
\[ \lim_{k \to +0} \frac{M(k)}{k^2}=\frac{[ヲ]}{[ン]} \]
である．