$f(x)=(x-1)(x-\sqrt{3})$とする．点$\mathrm{A}(0,\ \sqrt{3})$における放物線$y=f(x)$の接線を$\ell$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を求めよ．
(3)接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{B}$とし，$\mathrm{C}(1,\ 0)$とする．放物線$y=f(x)$，接線$\ell$，および線分$\mathrm{BC}$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$3$次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx$は，$x=2$で極大値$20$をとる．ただし，$a$と$b$は定数とする．

(1)$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．また，$f(x)$の極小値を求めよ．
(2)$f(x)$の定義域を$1 \leqq x \leqq 5$とするとき，$f(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
(3)$2$曲線$y=f(x)$，$y=x^3+27$，および$2$直線$x=1$，$x=5$で囲まれた図形の面積を求めよ．

関数$f(x)=(x-2)|x-3|$について以下の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)点$(2,\ 0)$における接線の方程式およびこの接線と$y=f(x)$の交点の座標を求めよ．
(3)$(2)$で求めた接線と$y=f(x)$のグラフで囲まれた部分の面積を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\sin x-\frac{1}{2} (0 \leqq x \leqq \pi)$について以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) \, dx$を求めよ．
(2)$y=|f(x)|$のグラフの概形を描け．
(3)$\displaystyle F(a)=\int_0^a |f(x)| \, dx (0 \leqq a \leqq \pi)$を求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)関数$f(\theta)=\sin^2 \theta-\sqrt{3} \cos \theta+2 (0 \leqq \theta \leqq \pi)$は，$\theta=[ア]$で最大値$[イ]$をとる．
(2)実数$x,\ y$が$2x+3y+1=0$を満たすとき，$4^x+8^y$は$x=[ウ]$で最小値$[エ]$をとる．
(3)実数$a$に対して，$3$次方程式$9x^3-3x^2+ax-1=0$の$1$つの解が$\displaystyle \frac{1}{3}$のとき，$a=[オ]$である．また，この方程式の$\displaystyle \frac{1}{3}$以外の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \alpha^{18}+\beta^{18}=\frac{[カ]}{3^9}$である．
(4)平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$と，点$(3,\ 0)$を通る傾き$m$の直線$\ell$がある．$\ell$と$C$が異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わるとき，$m$の範囲は$[キ]$である．また，線分$\mathrm{AB}$の長さが$\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{5}$のとき，$m=[ク]$である．
(5)$a$を$0$でない実数とする．関数$f(x)=a(x^3-3x^2+a)$の極小値が$1$であり，極大値が$7$より大きいとき，$a=[ケ]$で，その極大値は$[コ]$である．

$2$次関数$f(x)=3x^2-6x+4$を考える．関数$g(x)$は，定数$a$に対して
\[ \int_a^x g(t) \, dt=f(x)-2a^2 \]
を満たす．

(1)曲線$y=f(x)$の接線で点$(0,\ -8)$を通るものが$2$つある．それぞれの方程式を求めよ．
(2)(1)で求めた$2$つの接線と曲線$y=f(x)$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)$g(x)$を求めよ．
(4)$a$の値を求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AC}=10$，$\mathrm{BC}=6$，$\displaystyle \cos A=\frac{4}{5}$とし，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．このとき，$\tan A=[ア]$であり，$\triangle \mathrm{BCM}$の外接円の半径は$[イ]$である．
(2)関数$f(x)=|x-1|-|x+2|+|x-3|$が，$f(a)=0$を満たすとき，$a=[ウ]$である．また，$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形の面積は$[エ]$である．
(3)$k$を正の実数とする．$3$次関数$f(x)=kx^3+3kx^2-9kx+3$の極大値は$[オ]$である．また，$f(x)=0$が正の実数解を持つような$k$の値の範囲は$[カ]$である．
(4)円$C:x^2+(y-2)^2=1$と点$\mathrm{A}(2,\ 0)$がある．この$C$上の点$\mathrm{P}$と$\mathrm{A}$を結ぶ線分$\mathrm{PA}$の中点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式は$[キ]$である．また，$\mathrm{Q}$の軌跡と$C$が交わる点の$x$座標は$[ク]$である．
(5)$a>1$に対して最小値が$2$である関数$f(x)=\log_a (x^2-2x+3)$と，関数$g(x)=\log_2 (2x-1)^2$がある．このとき，$a=[ケ]$であり，$f(x)=g(x)$を満たす$x$の値は$[コ]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$3$次の整式$F(x)$を$x^2-3x+2$で割ると，余りは$-3x-5$である．これより，$F(2)=[ア]$である．この$F(x)$を$x^2+3x+2$で割った余りが$3x+7$であるとき，$F(0)=[イ]$である．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{9 \cdot 10^x}{(1+10^x)^2}$を考える．$f(x) \geqq 2$となる$x$の値の範囲は$[ウ]$である．また，等式$\displaystyle f(-x)=\frac{a \cdot 10^{bx}}{(1+10^x)^2}$がすべての$x$について成り立つように定数$a,\ b$の値を定めると$(a,\ b)=[エ]$である．
(3)直線$\ell:y=7x+6a-5$と放物線$y=(x-a)^2-5$が異なる$2$点で交わるとき，定数$a$のとりうる値の範囲を求めると$[オ]$である．また，直線$y=2x+a$に関して，$\ell$と対称な直線の方程式を求めると$[カ]$である．
(4)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$\displaystyle \frac{1}{\sin \theta}+\frac{1}{\cos \theta}=4 \sqrt{3}$のとき，$\sin \theta \cos \theta$の値を求めると$\sin \theta \cos \theta=[キ]$であり，$\sin^4 \theta+\cos^4 \theta$の値を求めると$\sin^4 \theta+\cos^4 \theta=[ク]$である．

$a$を実数として，関数$\displaystyle f(x)=a \cos x-\frac{\cos x}{1+\sin x} \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$を考える．

(1)$t=\sin x$とし，$f^\prime(x)$を$a$と$t$の式で表せ．
(2)$\displaystyle f^\prime \left( \frac{\pi}{6} \right)=0$となるように$a$の値を定めよ．そのとき，$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{\pi}{6}$で極大となることを示し，極大値$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{6} \right)$を求めよ．
(3)$a$の値を$(2)$のように定めるとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸と$y$軸とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$x$の多項式$f(x)=(x-2)(x-1)(x+1)(x+2)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$を$f^\prime(x)$で割ったときの商と余りを求めよ．
(3)放物線$y=ax^2+bx+c$が曲線$y=f(x)$上の極値に対応する点をすべて通るように，実数$a,\ b,\ c$の値を定めよ．