「関数」について
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私立 立教大学 2012年 第3問曲線$y=x^3-x$を$C_1$とし，放物線$y=x^2+ax+b$を$C_2$とする．また，放物線$C_2$の頂点の座標は$(t,\ -t^2)$である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)=x^3-x$の極値を求めよ．
(2)$a$を$t$で表せ．
(3)曲線$C_1$と放物線$C_2$が異なる共有点をちょうど$2$個もつ$t$の値が$2$つある．それらの値$t_1,\ t_2 (t_1<t_2)$を求めよ．
(4)$t=t_1$のとき，曲線$C_1$と放物線$C_2$によって囲まれた領域の面積を求めよ．
(1)関数$f(x)=x^3-x$の極値を求めよ．
(2)$a$を$t$で表せ．
(3)曲線$C_1$と放物線$C_2$が異なる共有点をちょうど$2$個もつ$t$の値が$2$つある．それらの値$t_1,\ t_2 (t_1<t_2)$を求めよ．
(4)$t=t_1$のとき，曲線$C_1$と放物線$C_2$によって囲まれた領域の面積を求めよ．
私立 自治医科大学 2012年 第9問関数$y=2 \cos \theta-\sin^2 \theta (0 \leqq \theta<2\pi)$の最大値を$M$，最小値を$m$とする．$(M+m)$の値を求めよ．
私立 自治医科大学 2012年 第22問関数$f(x)=x^3-9x^2+3x$は，$x=a$で極大値をとり，$x=b$で極小値をとるものとする（$a,\ b$は実数）．$(a+b)$の値を求めよ．
私立 自治医科大学 2012年 第24問$2$つの曲線$C_1:f(x)=x^3+3x^2$，$C_2:g(x)=x^3+3x^2+c$（$c>0$，$c$は実数定数）について考える．点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における$C_1$の接線と点$\mathrm{Q}(q,\ g(q))$における$C_2$の接線が一致するとき（$p \neq q$），$c=-A(p+1)^3$と表記される．$A$の値を求めよ．
私立 北海学園大学 2012年 第1問$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+c$の定義域を$-4 \leqq x \leqq 2$とする．曲線$y=f(x)$は$3$点$(2,\ 12)$，$(-1,\ -12)$，$(-3,\ -8)$を通る．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とする．
(1)$a,\ b,\ c$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$f(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
(3)$f(x)$が最大値をとるときの$x$の値を$k$とする．放物線$y=px^2+qx+q$の頂点の座標が$(k,\ f(k))$であるとき，定数$p$と$q$の値をそれぞれ求めよ．ただし，$p \neq 0$とする．
(1)$a,\ b,\ c$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$f(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
(3)$f(x)$が最大値をとるときの$x$の値を$k$とする．放物線$y=px^2+qx+q$の頂点の座標が$(k,\ f(k))$であるとき，定数$p$と$q$の値をそれぞれ求めよ．ただし，$p \neq 0$とする．
私立 北海学園大学 2012年 第4問$2$つの関数$f(x)=2x^3+6x^2+k$と$g(x)=4x^2+1$がある．曲線$y=f(x)$と放物線$y=g(x)$は，ともに異なる$2$点$\mathrm{A}(0,\ a)$，$\mathrm{B}(b,\ c)$を通る．ただし，$k,\ a,\ b,\ c$は定数とする．
(1)$k,\ a,\ b,\ c$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$f(x)$の極値を求めよ．
(3)放物線$y=g(x)$と直線$\mathrm{AB}$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1)$k,\ a,\ b,\ c$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$f(x)$の極値を求めよ．
(3)放物線$y=g(x)$と直線$\mathrm{AB}$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
私立 北海学園大学 2012年 第5問関数$f(x)=x^4+2x^3+ax^2+b$は$x=-2$で極値をとり，$f(-1)=5$を満たす．ただし，$a$と$b$は定数とする．
(1)$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$f(x)$の定義域を$-3 \leqq x \leqq 1$とするとき，$f(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$，$x$軸，および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1)$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$f(x)$の定義域を$-3 \leqq x \leqq 1$とするとき，$f(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$，$x$軸，および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
私立 北海学園大学 2012年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$3$次関数$f(x)=ax^3+bx^2-5$の導関数$f^\prime(x)$が，$f^\prime(1)=1$と$f^\prime(2)=20$を満たすとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$a$は正の実数で，$b=32a^3$とする．$x=\log_2b$，$y=\log_2a$とおくとき，$y$を$x$を用いて表せ．
(3)座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(1,\ 4)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$からの距離の$2$乗の和$\mathrm{AP}^2+\mathrm{BP}^2$が$18$である点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．
(1)$3$次関数$f(x)=ax^3+bx^2-5$の導関数$f^\prime(x)$が，$f^\prime(1)=1$と$f^\prime(2)=20$を満たすとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$a$は正の実数で，$b=32a^3$とする．$x=\log_2b$，$y=\log_2a$とおくとき，$y$を$x$を用いて表せ．
(3)座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(1,\ 4)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$からの距離の$2$乗の和$\mathrm{AP}^2+\mathrm{BP}^2$が$18$である点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．
私立 北海学園大学 2012年 第1問$x$の関数
\[ y=x^4+4x^3+2(2-a)x^2-4ax-1 \quad (-4 \leqq x \leqq 2) \]
について次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とする．
(1)$t=x^2+2x (-4 \leqq x \leqq 2)$とおくとき，$t$の値の範囲を求めよ．また，$y$を$t$と$a$を用いて表せ．
(2)$a=0$のとき，$y$の値の範囲を求めよ．このとき，$y$が最小になるような$x$の値を求めよ．
(3)$0 \leqq a \leqq 1$のとき，$y$の値の範囲を$a$を用いて表せ．このとき，$y$が最小になるような$x$の値を$a$を用いて表せ．
\[ y=x^4+4x^3+2(2-a)x^2-4ax-1 \quad (-4 \leqq x \leqq 2) \]
について次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とする．
(1)$t=x^2+2x (-4 \leqq x \leqq 2)$とおくとき，$t$の値の範囲を求めよ．また，$y$を$t$と$a$を用いて表せ．
(2)$a=0$のとき，$y$の値の範囲を求めよ．このとき，$y$が最小になるような$x$の値を求めよ．
(3)$0 \leqq a \leqq 1$のとき，$y$の値の範囲を$a$を用いて表せ．このとき，$y$が最小になるような$x$の値を$a$を用いて表せ．
私立 北海学園大学 2012年 第1問放物線$y=x^2+2(1-a)x-3a$を，$x$軸方向に$1$，$y$軸方向に$7$だけ平行移動して得られる放物線を$C:y=f(x)$とする．ただし，$a$は定数とする．
(1)$C$の頂点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$C$と$x$軸の正の部分が異なる$2$点で交わるような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$a$の値が上の(2)で求めた範囲にあるとする．このとき，$0 \leqq x \leqq 5$における関数$f(x)$の最大値と最小値をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(1)$C$の頂点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$C$と$x$軸の正の部分が異なる$2$点で交わるような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$a$の値が上の(2)で求めた範囲にあるとする．このとき，$0 \leqq x \leqq 5$における関数$f(x)$の最大値と最小値をそれぞれ$a$を用いて表せ．