次の問いに答えよ．

(1)無限級数
\[ 1+\frac{1}{1+e^x}+\frac{1}{(1+e^x)^2}+\cdots +\frac{1}{(1+e^x)^n}+\cdots \]
はすべての実数$x$について収束することを示し，その和を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(2)$(1)$で求めた無限級数の和を$f(x)$とする．方程式$\log f(x)=x$を解け．ただし，対数は自然対数とする．

次の問いに答えよ．

(1)$f(t)$を$0 \leqq t \leqq 1$で連続な関数とする．$\tan x=t$とおいて，
\[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{f(\tan x)}{\cos^2 x} \, dx=\int_0^1 f(t) \, dt \]
であることを示せ．
(2)(1)を用いて，$0$以上の整数$n$に対し，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan^n x}{\cos^2 x} \, dx$の値を求めよ．また，
\[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx \leqq \frac{1}{n+1} \]
を示せ．
(3)$0$以上の整数$n$と$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$を満たす$x$に対し，
\[ \frac{1-\tan^2 x+\tan^4 x- \cdots +(-1)^n \tan^{2n} x}{\cos^2 x}=1-(-1)^{n+1} \tan^{2(n+1)} x \]
であることを示せ．
(4)(2)と(3)を用いて，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{1}{2k+1}$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{1}{2+\sqrt{3}+\sqrt{7}}$の分母を有理化せよ．
(2)方程式$4x^2-3x+k=0$の$2$つの解が$\sin \theta,\ \cos \theta$で与えられるとき，定数$k$の値を求めよ．
(3)関数$y=4^x-2^{x+2}+1$の$-1 \leqq x \leqq 3$における最大値と最小値を求めよ．
(4)直方体の各面にさいころのように$1$から$6$までの目が書かれている．この直方体を投げて，$1,\ 6$の目が出る確率はともに$p$であり，$2,\ 3,\ 4,\ 5$の目が出る確率はいずれも$q$である．この直方体を$1$回投げて，出た目の数を得点とする．このとき，得点の期待値は$p,\ q$の値によらずに一定であることを示せ．

次の問題文の枠内にあてはまる数あるいは数式を答えよ．

(1)関数$f(x)$が$p$を周期とする周期関数であるとは，すべての$x$で等式$[　]$が成立することである．関数$\displaystyle g(x)=\sin^2 \left( 5x+\frac{\pi}{3} \right)$の正の最小の周期は$[　]$である．
(2)実数$x$が$-\pi<x \leqq \pi$のとき，無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \sin^k x$が収束する条件は，$x$の値が$[　]$以外のときであり，収束するときの無限級数の和は$[　]$である．
(3)$\displaystyle \int_{-10}^0 \frac{1}{(x+11)(x+12)} \, dx=[　]$であり，$\displaystyle \int_{-10}^0 \log (x+11) \, dx=[　]$である．
(4)楕円$9x^2+4y^2+36x-40y+100=0$の$2$つの焦点のうち，$y$座標が大きい方の座標は$[　]$である．この楕円の長軸の長さは$[　]$である．
(5)関数$f(x)$を$f(x)=2x^2+1$とし，区間$[0,\ 1]$を$n$等分した小区間を，$\displaystyle \left[ \frac{0}{n},\ \frac{1}{n} \right]$，$\displaystyle \left[ \frac{1}{n},\ \frac{2}{n} \right]$，$\cdots$，$\displaystyle \left[ \frac{n-1}{n},\ \frac{n}{n} \right]$とする．各小区間を底辺とする$n$個の長方形の面積の総和をとる．$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において，長方形の高さとして左端での関数$f(x)$の値を用いたとき，この小区間での長方形の面積は$[　]$となり，それらの長方形の面積の総和を$s_n$とする．また，$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において，長方形の高さとして右端での関数$f(x)$の値を用いたときの長方形の面積の総和を$S_n$とする．このとき，$S_n-s_n$は$[　]$となる．

次の問いに答えよ．

(1)多項式$f(x)$を$x-1$で割ると$3$余り，$x-2$で割ると$2$余るとき，$f(x)$を$(x-1)(x-2)$で割ったときの余りを求めよ．
(2)不等式$0<\log (x^2-4x+3)-\log (x^2-6x+8)<\log 2$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$が等式$\displaystyle f(x)=x^2+\int_0^x f^\prime(t) e^{t-x} \, dt$を満たしているとき，$f(x)$を求めよ．

定数$a (a \neq 1)$に対し，$f(x)=x^3-(a+2)x^2+(2a+1)x-a$とする．

(1)方程式$f(x)=0$の解を$a$を用いて表せ．
(2)関数$f(x)$の極値を$a$を用いて表せ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$a$を用いて表せ．
ただし，$\displaystyle \int x^3 \, dx=\frac{x^4}{4}+C$（$C$は積分定数）を用いてよい．

$3$次関数$f(x)=-x^3+3ax^2+b$（$a,\ b$は実数の定数）について，次の問に答えよ．

(1)$a=1,\ b=3$のとき，$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$0 \leqq x \leqq 2$のとき$f(x) \leqq 4$となるための$a,\ b$の条件を求めよ．

$\displaystyle f(x)=x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x$として数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=\frac{4}{3},\quad a_{n+1}=f(a_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めるとき，次の問に答えよ．

(1)$f(x)$は区間$\displaystyle \frac{4}{5} \leqq x \leqq \frac{4}{3}$で減少することを示せ．

(2)$\displaystyle \frac{4}{5} \leqq a_n \leqq \frac{4}{3} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．

(3)$\displaystyle \frac{1}{3} \left( \frac{9}{25} \right)^{n-1} \leqq |a_n-1| \leqq \frac{1}{3} \left( \frac{9}{16} \right)^{n-1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．

関数$f(x)=x^2-2$に対して，$y=f(x)$のグラフ上の点$(a,\ f(a))$における接線と$x$軸との交点の$x$座標を$g(a)$とおく．ただし，$a>0$とする．また$x_1=4$とし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して$x_{n+1}=g(x_n)$とおく．次の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフ上の点$(4,\ 14)$におけるグラフの接線の方程式を求めよ．
(2)どのような自然数$n$に対しても$x_n>0$であることを数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$x_3$を求めよ．
(4)どのような自然数$n$に対しても$x_{n+1} \geqq \sqrt{2}$であることを，相加平均と相乗平均の大小関係を使って証明せよ．

$2$つの関数
\[ f(x)=x^3+1,\quad g(x)=f(1)+f^\prime(1)(x-1)+\frac{1}{2}f^{\prime\prime}(1)(x-1)^2 \]
について，次の問に答えよ．

(1)導関数の定義に従って$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$g(x)$を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$において常に$f(x) \leqq g(x)$であることを証明せよ．
(4)$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$と$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．