関数$f(x)=ax^3-(a+3)x+a+3$について，次の問いに答えよ．ただし$a$は$0$でない実数とする．

(1)$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とする．$x$の方程式$f^\prime(x)=0$が実数解をもつような$a$の範囲を求め，またそのときの実数解をすべて求めよ．
(2)$x$の方程式$f(x)=0$が$3$個の異なる実数解をもつような$a$の範囲を求めよ．

$xy$平面上に，曲線$C_1:x=t-\sin t,\ y=1-\cos t \ (0 \leqq t \leqq 2\pi)$がある．$0<t<2\pi$をみたす$t$に対し，$C_1$上の点$\mathrm{P}_1(t-\sin t,\ 1-\cos t)$における$C_1$の法線を$m$とおき，$x$軸と$m$の交点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{M}$が線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の中点になるように点$\mathrm{P}_2$をとる．このとき，以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)直線$m$の方程式を求めよ．また，$\mathrm{M},\ \mathrm{P}_2$の座標を$t$を用いて表せ．さらに，$\mathrm{P}_2$の$x$座標を$f(t)$とおくと，関数$f(t)$は，$0<t<2\pi$で増加することを示せ．
(2)$t$が$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲を動くときの$\mathrm{P}_2$の軌跡を$C_2$とするとき，$x$軸と曲線$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．ただし，$t=0,\ 2\pi$に対しては，点$\mathrm{P}_2$をそれぞれ点$(0,\ 0)$，点$(2\pi,\ 0)$にとるものとする．

関数$f(x)=xe^{-x^2}$について，次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x^2}=0,\ \lim_{x \to -\infty}xe^{-x^2}=0$を用いてよい．
(2)$y=f(x)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$t>0$とする．曲線$y=f(x)$，$x$軸，および直線$x=t$で囲まれた部分の面積$S(t)$を求めよ．
(4)(3)で求めた$S(t)$について，$\displaystyle \lim_{t \to \infty}S(t)$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle I_1=\int_0^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2+1}$とする．$x=\tan \theta$とおくことにより，$\displaystyle I_1=\frac{\pi}{3}$を示せ．
(2)(1)の$I_1$を部分積分して，$I_1$と$\displaystyle I_2=\int_0^{\sqrt{3}}\frac{dx}{(x^2+1)^2}$の関係式を導き，$I_2$の値を求めよ．
(3)$t=x+\sqrt{x^2+1}$とおくことにより，不定積分$\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$を求めよ．
(4)合成関数の微分法を用いて，関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})$の導関数を求めよ．
(5)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac{1}{\sqrt{n^2+1^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2^2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}} \right\}$を求めよ．

2点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は，$\mathrm{AB}=2$を満たしながら放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2-x+\frac{3}{2}$の上を動く点とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$の$x$座標をそれぞれ$a,\ b,\ p$とするとき，$a+b$と$ab$の値をそれぞれ$p$を用いて表しなさい．
(2)$\mathrm{P}$の$y$座標を$p$を用いて表しなさい．
(3)$\mathrm{P}$の$x$座標に対して$\mathrm{P}$の$y$座標を定める関数を$y=f(x)$とする．2つの曲線$y=f(x)$，$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2-x+\frac{3}{2}$と2直線$x=0,\ x=2$で囲まれた図形の面積を求めなさい．

$xy$平面上に点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$と，原点を中心とする半径1の円$C$を考える．$C$上の点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に垂直な直線を$\ell$とし，$\ell$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$\mathrm{P}$の$x$座標を$a$とするとき，$f(a)=\mathrm{AQ}+\mathrm{PQ}$を$a$を用いて表しなさい．
(2)(1)で求めた関数$f(a)$の$-1 \leqq a \leqq 1$における最大値を求めなさい．

関数$f(x)=2 \sin x-x \cos x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とするとき，$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq a \leqq \pi$および$f^\prime(a)=0$を満たす$a$がただ1つ存在することを示せ．
(2)(1)の$a$を用いて，関数$y=f(x)$の増減，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(3)(1)の$a$について，$0<t<a$とするとき，
\[ S(t)=\int_0^a |f(x)-f(t)| \, dx \]
が最小となるような$t$の値を$a$を用いて表せ．

関数$f(x)$は微分可能で，導関数$f^\prime(x)$は連続であるとする．$p(x)=xe^{2x}$とおくとき，$f(x)$は
\[ \int_0^x f(t) \cos (x-t) \, dt=p(x) \]
を満たしている．このとき次の問いに答えよ．

(1)$f(0)=p^\prime(0)$を示せ．
(2)$f^\prime(x)=p(x)+p^{\prime\prime}(x)$を示せ．
(3)$f(x)$を求めよ．

関数$f(x)=1+\sin x+\sin^2 x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$の増減表を作成し，極値を求めよ．
(2)$\displaystyle x=\frac{5}{12}\pi$のとき，和$\sin x+\cos x$と積$\sin x \cos x$の値をそれぞれ求めよ．
(3)次の不等式$(ⅰ),\ (ⅱ)$がそれぞれ成り立つことを証明せよ．また，等号がいつ成立するか．それぞれ調べよ．

(i) $f(x) \geqq \sin x (1+\sqrt{2}+\cos x) \ (0 \leqq x \leqq \pi)$
(ii) $(\sin x+\cos x) \left( \displaystyle\frac{7}{4}-\sin x \cos x \right) \leqq \left( \displaystyle\frac{3}{2} \right)^{\frac{3}{2}} \ \left( 0 \leqq x \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2} \right)$

$2$つの関数$f(x)=x^2+ax+2,\ g(x)=-x^2+bx+2$が，$\displaystyle f^\prime \left( \frac{a+1}{2} \right)=g^\prime \left( \frac{a+1}{2} \right)$をみたしている．このとき，次の問に答えよ．ただし，$a,\ b$は定数で$a<-1$とする．

(1)$b$を$a$で表せ．
(2)$2$つの曲線$C_1:y=f(x)$と$C_2:y=g(x)$のすべての共有点について，その$x$座標を$a$の式で表せ．
(3)$C_1$と$C_2$が囲む部分の面積を$S$とするとき，$S$を$a$で表せ．
(4)$\displaystyle S=\frac{7}{3} |a+1|+2$となるような$a$の値を求めよ．