「関数」について
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国立 茨城大学 2012年 第3問$a$を実数の定数として，$f(x)=x(x-a)^2$とおく．以下の各問に答えよ．
(1)関数$y=f(x)$の増減と極値を調べ，そのグラフをかけ．
(2)$a \neq 0$とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S(a)$を求めよ．さらに，$\displaystyle S(a)=\frac{1}{3}$となる$a$の値をすべて求めよ．
(1)関数$y=f(x)$の増減と極値を調べ，そのグラフをかけ．
(2)$a \neq 0$とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S(a)$を求めよ．さらに，$\displaystyle S(a)=\frac{1}{3}$となる$a$の値をすべて求めよ．
国立 茨城大学 2012年 第2問すべての実数$t$に対して関数$f(t),\ g(t)$を$f(t)=e^t-e^{-t},\ g(t)=e^t+e^{-t}$と定義する．ただし，$e$は自然対数の底とする．次の各問に答えよ．
(1)すべての$t$に対して$g(t) \geqq 2$であることを示せ．
(2)$f(t)$は単調増加であることを示せ．
(3)$x=f(t),\ s=e^t$とするとき，$s$を$x$を用いて表せ．
(4)$x=f(t)$の逆関数$t=f^{-1}(x)$を求めよ．
(5)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+4}} \, dx$を$x=f(t)$と置換積分して求めよ．
(6)座標平面上で$t$を媒介変数とする曲線$x=f(t),\ y=g(t)$を考える．この曲線を，媒介変数$t$を消去して$x,\ y$に関する方程式で表せ．
(1)すべての$t$に対して$g(t) \geqq 2$であることを示せ．
(2)$f(t)$は単調増加であることを示せ．
(3)$x=f(t),\ s=e^t$とするとき，$s$を$x$を用いて表せ．
(4)$x=f(t)$の逆関数$t=f^{-1}(x)$を求めよ．
(5)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+4}} \, dx$を$x=f(t)$と置換積分して求めよ．
(6)座標平面上で$t$を媒介変数とする曲線$x=f(t),\ y=g(t)$を考える．この曲線を，媒介変数$t$を消去して$x,\ y$に関する方程式で表せ．
国立 東京農工大学 2012年 第3問区間$1 \leqq x \leqq 4$で定められた関数$\displaystyle f(x)=\sqrt{4x-x^2},\ g(x)=\sqrt{x \log \frac{4}{x}}$について，次の問いに答えよ．ただし対数は自然対数とする．
(1)曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=1$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ．
(2)区間$1 \leqq x \leqq 4$において$\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2 \geqq 0$が成り立つことを示せ．
(3)2つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$と直線$x=1$で囲まれた部分を$D$とおく．$D$を$x$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積$W$を求めよ．
(1)曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=1$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ．
(2)区間$1 \leqq x \leqq 4$において$\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2 \geqq 0$が成り立つことを示せ．
(3)2つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$と直線$x=1$で囲まれた部分を$D$とおく．$D$を$x$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積$W$を求めよ．
国立 東京農工大学 2012年 第4問区間$0 \leqq x \leqq 2\pi$で定められた関数$\displaystyle f(x)=\int_0^{2\pi} (\sin |x-t|) \cos 2t \, dt+\frac{2}{3} \cos x$の最大値，最小値を求めよ．また，最大値を与える$x$の値と最小値を与える$x$の値をすべて求めよ．
国立 電気通信大学 2012年 第1問関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+1}$に対して，$xy$平面上の曲線$C:y=f(x)$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)曲線$C$の第$1$象限にある変曲点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)変曲点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)$\displaystyle x=\tan \theta \ \left( -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とおく．このとき，不定積分
\[ I=\int \frac{dx}{x^2+1} \]
を$\theta$を用いて表せ．なお，不定積分の計算においては積分定数を省略してもよい．
(5)曲線$C$と接線$\ell$および$y$軸とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)曲線$C$の第$1$象限にある変曲点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)変曲点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)$\displaystyle x=\tan \theta \ \left( -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とおく．このとき，不定積分
\[ I=\int \frac{dx}{x^2+1} \]
を$\theta$を用いて表せ．なお，不定積分の計算においては積分定数を省略してもよい．
(5)曲線$C$と接線$\ell$および$y$軸とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．
国立 電気通信大学 2012年 第2問区間$0 \leqq x \leqq \pi$で連続な関数$f(x)$に対して，定積分
\[ I=\int_0^\pi \{t \sin x-f(x) \}^2 \, dx \quad (t \text{は実数}) \]
を考える．定数$c_1,\ c_2,\ c_3$を
\[ c_1=\int_0^\pi \sin^2 x \, dx,\quad c_2=\int_0^\pi f(x) \sin x \, dx,\quad c_3=\int_0^\pi \{f(x)\}^2 \, dx \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$I$を，$t$および$c_1,\ c_2,\ c_3$を用いて表せ．
(2)$c_1$の値を求めよ． \\
以下では，$I$を最小にする$t$の値を$t_0$とし，その最小値を$I_0$とする．
(3)$t_0$を$c_2$を用いて表せ．また，$I_0$を$c_2,\ c_3$を用いて表せ．
(4)次の定積分$A,\ B$の値を求めよ．
\[ A=\int_0^\pi x \sin x \, dx,\quad B=\int_0^\pi x \cos x \, dx \]
(5)$f(x)=x(\pi-x)$のとき，$c_2,\ c_3$および$I_0$の値をそれぞれ求めよ．
\[ I=\int_0^\pi \{t \sin x-f(x) \}^2 \, dx \quad (t \text{は実数}) \]
を考える．定数$c_1,\ c_2,\ c_3$を
\[ c_1=\int_0^\pi \sin^2 x \, dx,\quad c_2=\int_0^\pi f(x) \sin x \, dx,\quad c_3=\int_0^\pi \{f(x)\}^2 \, dx \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$I$を，$t$および$c_1,\ c_2,\ c_3$を用いて表せ．
(2)$c_1$の値を求めよ． \\
以下では，$I$を最小にする$t$の値を$t_0$とし，その最小値を$I_0$とする．
(3)$t_0$を$c_2$を用いて表せ．また，$I_0$を$c_2,\ c_3$を用いて表せ．
(4)次の定積分$A,\ B$の値を求めよ．
\[ A=\int_0^\pi x \sin x \, dx,\quad B=\int_0^\pi x \cos x \, dx \]
(5)$f(x)=x(\pi-x)$のとき，$c_2,\ c_3$および$I_0$の値をそれぞれ求めよ．
国立 福井大学 2012年 第5問$t$を1以上の実数とし，$f(x)=x^3+x^2-(t^2+t)x-t$とする．曲線$C:y=f(x)$を原点に関して対称移動して得られる曲線を$C_1$，$C$を$x$軸方向に1だけ平行移動して得られる曲線を$C_2$とする．また，$0 \leqq x \leqq 3$の範囲で，曲線$C_1,\ C_2,\ y$軸および直線$x=3$で囲まれた部分の面積を$S(t)$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)曲線$C_1$と$C_2$の交点の座標をすべて求めよ．
(2)$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$t$が$t \geqq 1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．
(1)曲線$C_1$と$C_2$の交点の座標をすべて求めよ．
(2)$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$t$が$t \geqq 1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．
国立 鳥取大学 2012年 第4問連続な関数$f(x)$が以下の式を満たすとき，次の問いに答えよ．
\[ \int_a^x (x-t)f(t) \, dt=\cos (ax)-b \]
ただし$a,\ b$は定数で$0<a<2$とする．
(1)定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3) $f(x)$が最大値を取るときの$x$の値を求めよ．
\[ \int_a^x (x-t)f(t) \, dt=\cos (ax)-b \]
ただし$a,\ b$は定数で$0<a<2$とする．
(1)定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3) $f(x)$が最大値を取るときの$x$の値を求めよ．
国立 鳥取大学 2012年 第4問$3$以上の自然数$n$に対して
\[ S_n=\sum_{k=3}^n \frac{\log k}{k} \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots) \]
とおいて数列$\{S_n\}$を定める．次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} \ (x>0)$の増減と極値を調べよ．
(2)$4$以上の自然数$n$に対して不等式
\[ S_n-\frac{\log 3}{3} \leqq \int_3^n \frac{\log x}{x} \, dx \leqq S_{n-1} \]
が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{(\log n)^2}$を求めよ．
\[ S_n=\sum_{k=3}^n \frac{\log k}{k} \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots) \]
とおいて数列$\{S_n\}$を定める．次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} \ (x>0)$の増減と極値を調べよ．
(2)$4$以上の自然数$n$に対して不等式
\[ S_n-\frac{\log 3}{3} \leqq \int_3^n \frac{\log x}{x} \, dx \leqq S_{n-1} \]
が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{(\log n)^2}$を求めよ．
国立 山口大学 2012年 第1問関数$f(x)=-x^2+15x-36$と$g(x)=\log_2(-x^2+15x-36)$について，次の問いに答えなさい．
(1)$f(x)>0$となる$x$の範囲を求めなさい．
(2)$\log_23=1.585$として，$g(x)$の最大値を小数で表しなさい．
(3)$f(g(x))>0$となる$x$の範囲を求めなさい．
(1)$f(x)>0$となる$x$の範囲を求めなさい．
(2)$\log_23=1.585$として，$g(x)$の最大値を小数で表しなさい．
(3)$f(g(x))>0$となる$x$の範囲を求めなさい．