「関数」について
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国立 鹿児島大学 2012年 第2問$x$の関数$f(x)=8^x+8^{-x}-9(4^x+4^{-x})+27(2^x+2^{-x})-26$について，次の各問いに答えよ．
(1)$t=2^x+2^{-x}$とおく．$f(x)$を$t$の関数として表したものを$g(t)$とするとき，$g(t)$を求めよ．
(2)$t=2^x+2^{-x}$のとる値の範囲を求めよ．
(3)$t$が(2)で求めた範囲を動くとき，関数$y=g(t)$の増減を調べよ．
(4)$x \geqq 0$のとき，関数$f(x)$の最小値とその最小値を与える$x$の値を求めよ．
(1)$t=2^x+2^{-x}$とおく．$f(x)$を$t$の関数として表したものを$g(t)$とするとき，$g(t)$を求めよ．
(2)$t=2^x+2^{-x}$のとる値の範囲を求めよ．
(3)$t$が(2)で求めた範囲を動くとき，関数$y=g(t)$の増減を調べよ．
(4)$x \geqq 0$のとき，関数$f(x)$の最小値とその最小値を与える$x$の値を求めよ．
国立 鹿児島大学 2012年 第4問次の各問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(1)$n$を自然数とする．$x$の関数$f(x)=x^ne^{1-x}$について，$0<x<1$ならば$0<f(x)<1$であることを示せ．
(2)自然数$n$に対して$\displaystyle I_n=\int_0^1 x^ne^{1-x} \, dx$とおくとき，$I_1$を求めよ．さらに，$I_{n+1}$と$I_n$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(3)(2)の$I_n$に対して$\displaystyle a_n=\frac{I_n}{n!}$とおくとき，$\displaystyle \sum_{k=2}^n \frac{1}{k!}=a_1-a_n$であることを示せ．
(4)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}$とおくとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=e-1$であることを示せ．
(1)$n$を自然数とする．$x$の関数$f(x)=x^ne^{1-x}$について，$0<x<1$ならば$0<f(x)<1$であることを示せ．
(2)自然数$n$に対して$\displaystyle I_n=\int_0^1 x^ne^{1-x} \, dx$とおくとき，$I_1$を求めよ．さらに，$I_{n+1}$と$I_n$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(3)(2)の$I_n$に対して$\displaystyle a_n=\frac{I_n}{n!}$とおくとき，$\displaystyle \sum_{k=2}^n \frac{1}{k!}=a_1-a_n$であることを示せ．
(4)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}$とおくとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=e-1$であることを示せ．
国立 鹿児島大学 2012年 第3問$x$の関数$f(x)=8^x+8^{-x}-9(4^x+4^{-x})+27(2^x+2^{-x})-26$について，次の各問いに答えよ．
(1)$t=2^x+2^{-x}$とおく．$f(x)$を$t$の関数として表したものを$g(t)$とするとき，$g(t)$を求めよ．
(2)$t=2^x+2^{-x}$のとる値の範囲を求めよ．
(3)$t$が(2)で求めた範囲を動くとき，関数$y=g(t)$の増減を調べよ．
(4)$x \geqq 0$のとき，関数$f(x)$の最小値とその最小値を与える$x$の値を求めよ．
(1)$t=2^x+2^{-x}$とおく．$f(x)$を$t$の関数として表したものを$g(t)$とするとき，$g(t)$を求めよ．
(2)$t=2^x+2^{-x}$のとる値の範囲を求めよ．
(3)$t$が(2)で求めた範囲を動くとき，関数$y=g(t)$の増減を調べよ．
(4)$x \geqq 0$のとき，関数$f(x)$の最小値とその最小値を与える$x$の値を求めよ．
国立 群馬大学 2012年 第5問$p>0$は定数とし，$f(x)=x^3-px$とする．$f(x)$は$x=a$で極小値$m$を，$x=b$で極大値$M$をとるとする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$a,\ b,\ m,\ M$をそれぞれ$p$を用いて表せ．
(2)直線$y=m$および$y=M$と曲線$y=f(x)$との$(a,\ m)$，$(b,\ M)$以外での交点をそれぞれ$(c,\ m)$，$(d,\ M)$とする．このとき$c,\ d$をそれぞれ$p$を用いて表せ．
(1)$a,\ b,\ m,\ M$をそれぞれ$p$を用いて表せ．
(2)直線$y=m$および$y=M$と曲線$y=f(x)$との$(a,\ m)$，$(b,\ M)$以外での交点をそれぞれ$(c,\ m)$，$(d,\ M)$とする．このとき$c,\ d$をそれぞれ$p$を用いて表せ．
国立 群馬大学 2012年 第5問$a$は定数で$a<3$とし，$f(x)=x^2-2ax+4a,\ g(x)=-x^2+6x-2a$とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた図形の面積が$9$となるときの$a$の値を求めよ．
(1)$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた図形の面積が$9$となるときの$a$の値を求めよ．
国立 群馬大学 2012年 第1問関数$f(x)=x^3+ax^2+bx$のグラフが点$(p,\ q),\ (p \neq 0)$に関して点対称であるとする．
(1)$a,\ b$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)関数$g(x)=|f(x)|$のグラフが直線$x=2$に関して線対称であるとする．$a,\ b$の値を求めよ．
(1)$a,\ b$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)関数$g(x)=|f(x)|$のグラフが直線$x=2$に関して線対称であるとする．$a,\ b$の値を求めよ．
国立 群馬大学 2012年 第2問次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$は$\displaystyle f(x)=3x^2+x \int_0^1 f(t) \, dt+1$を満たしている．このとき$f(x)$を求めよ．
(2)関数$g(x)$は，ある定数$k$に対して，$\displaystyle \int_1^x (3t+1)g(t) \, dt=4 \int_k^x g(t) \, dt+5x^3-3x^2-9x-17$を満たし，$g(1)=8$である．このとき$g(x)$と$k$の値を求めよ．
(1)関数$f(x)$は$\displaystyle f(x)=3x^2+x \int_0^1 f(t) \, dt+1$を満たしている．このとき$f(x)$を求めよ．
(2)関数$g(x)$は，ある定数$k$に対して，$\displaystyle \int_1^x (3t+1)g(t) \, dt=4 \int_k^x g(t) \, dt+5x^3-3x^2-9x-17$を満たし，$g(1)=8$である．このとき$g(x)$と$k$の値を求めよ．
国立 群馬大学 2012年 第6問関数$f(x)=x^3+ax^2+bx$のグラフが点$(p,\ q),\ (p \neq 0)$に関して点対称であるとする．
(1)$a,\ b$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)関数$g(x)=|f(x)|$のグラフが直線$x=2$に関して線対称であるとする．$a,\ b$の値を求めよ．
(1)$a,\ b$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)関数$g(x)=|f(x)|$のグラフが直線$x=2$に関して線対称であるとする．$a,\ b$の値を求めよ．
国立 群馬大学 2012年 第7問次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$は$\displaystyle f(x)=3x^2+x \int_0^1 f(t) \, dt+1$を満たしている．このとき$f(x)$を求めよ．
(2)関数$g(x)$は，ある定数$k$に対して，$\displaystyle \int_1^x (3t+1)g(t) \, dt=4 \int_k^x g(t) \, dt+5x^3-3x^2-9x-17$を満たし，$g(1)=8$である．このとき$g(x)$と$k$の値を求めよ．
(1)関数$f(x)$は$\displaystyle f(x)=3x^2+x \int_0^1 f(t) \, dt+1$を満たしている．このとき$f(x)$を求めよ．
(2)関数$g(x)$は，ある定数$k$に対して，$\displaystyle \int_1^x (3t+1)g(t) \, dt=4 \int_k^x g(t) \, dt+5x^3-3x^2-9x-17$を満たし，$g(1)=8$である．このとき$g(x)$と$k$の値を求めよ．
国立 三重大学 2012年 第4問媒介変数$\theta$を用いて$\displaystyle x=2\cos \theta,\ y=3\sin \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$と表される曲線がある．
(1)この曲線について$\theta$を消去して，$x,\ y$の方程式を求め，その概形をかけ．
(2)曲線上の点P$(2\cos \theta,\ 3\sin \theta)$での接線の方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた接線と$x$軸，$y$軸とで作られる三角形の面積$S$を$\theta$の関数として表せ．
(1)この曲線について$\theta$を消去して，$x,\ y$の方程式を求め，その概形をかけ．
(2)曲線上の点P$(2\cos \theta,\ 3\sin \theta)$での接線の方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた接線と$x$軸，$y$軸とで作られる三角形の面積$S$を$\theta$の関数として表せ．