$\alpha>1,\ x>0$とする．Oを原点とする座標平面上に3点A$(0,\ 1)$，B$(0,\ \alpha)$，P$(\sqrt{x},\ 0)$がある．次に答えよ．

(1)$\sin \angle \text{OPB}$と$\sin \angle \text{APB}$を$\alpha$と$x$を用いて表せ．
(2)$\sin \angle \text{APB}$を$x$の関数と考え，その関数を$f(x)$とおく．$f(x)$の最大値を$\alpha$を用いて表せ．
(3)(2)で求めた最大値が$\displaystyle \frac{1}{2}$となる$\alpha$を求めよ．

3次関数
\[ f(x)=x^3-(1+2\cos \theta)x^2+(1+2\cos \theta)x-1 \]
について，以下の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq \theta < 2\pi$とする．

(1)方程式$f(x)=0$の実数解を求めよ．
(2)関数$f(x)$が極値をもつための$\theta$の範囲を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$の変曲点の$x$座標を$g(\theta)$と表す．$\theta$を$0 \leqq \theta < 2\pi$の範囲で動かしたときの$g(\theta)$の最大値と最小値，および，そのときの$\theta$の値を求めよ．

関数$f(x)=x^3-x^2+x$について，以下の各問いに答えよ．

(1)$f(x)$はつねに増加する関数であることを示せ．
(2)$f(x)$の逆関数を$g(x)$とおく．$x>0$について
\[ \sqrt[3]{x}-1 < g(x) < \sqrt[3]{x}+1 \]
が成立することを示せ．
(3)$b>a>0$について
\[ 0<\int_a^b \frac{1}{x^2+1}\, dx<\frac{1}{a} \]
が成立することを示せ．
(4)自然数$n$について，(2)で定義された$g(x)$を用いて
\[ A_n=\int_n^{2n} \frac{1}{\{g(x)\}^3+g(x)} \, dx \]
とおくとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} A_n$を求めよ．

関数$f(x)=(4x^3-5x)e^{-x^2}$について，以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$の接線で，原点を通り，かつ傾きが正のものを求めよ．
(3)(2)で求めた接線と曲線$y=f(x)$で囲まれる2つの部分の面積の和を求めよ．

$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$をみたす実数とする．$2$次関数$f(x)=x^2-2(\sin \theta)x+\sin^2 \theta$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$のグラフの頂点の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$f(x)$の区間$\displaystyle -\frac{1}{2} \leqq x \leqq \frac{1}{2}$における最大値$M(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．
(3)(2)で求めた$M(\theta)$に対して，$\displaystyle \int_0^{2\pi}M(\theta) \, d\theta$の値を求めよ．

$a,\ b$を実数とし，関数$f(x)$，$g(x)$を$f(x)=a(e^x+e^{-x})$，$g(x)=4x+b$とする．曲線$C:y=f(x)$の点$(\log 3,\ f(\log 3))$における接線が直線$\ell:y=g(x)$と一致するとき，次に答えよ．ただし，対数は自然対数を表し，$e$は自然対数の底とする．また，$\log 3 < 1.1$を用いてよい．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)曲線$C$と直線$\ell$および直線$x=-\log 3$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\ell$および直線$x=-\log 3$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

3次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx$について次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$が$x=\alpha$で極大値を，$x=\beta$で極小値を持ち，$f(\alpha)-f(\beta)=4$とする．

\mon[(i)] $\beta-\alpha$を$a,\ b$の式で表せ．
\mon[(ii)] $a,\ b$の間に成り立つ関係式を求めよ．

(2)曲線$y=f(x)$に点$(0,\ 8)$から引いた接線の本数がちょうど2本あるとする．

\mon[(i)] $x=t$における接線の方程式を求めよ．
\mon[(ii)] $a$の値を求めよ．

(3)(1)，(2)がともに成り立つとき，2本の接線をそれぞれ求めよ．
(4)(3)で求めた2本の接線と曲線$y=f(x)$とで囲まれる図形の面積を求めよ．

$f(x)=x^3-3x$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$上の点$(a,\ f(a))$における接線の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$の接線のうち，点$(2,\ 2)$を通るものの方程式をすべて求めよ．
(3)点$(2,\ t)$から曲線$y=f(x)$に3本の接線が引けるとき，$t$の値の範囲を求めよ．

3次関数$y=f(x)$が$x=1-\sqrt{3}$と$x=1+\sqrt{3}$において極値をとり，点$(3,\ f(3))$における$y=f(x)$のグラフの接線が直線$y=4x-27$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$x \geqq 0$のとき，$f(x) \geqq 3x^2-14x$が成立することを示せ．

3次関数$y=f(x)$が$x=1-\sqrt{3}$と$x=1+\sqrt{3}$において極値をとり，点$(3,\ f(3))$における$y=f(x)$のグラフの接線が直線$y=4x-27$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$x \geqq 0$のとき，$f(x) \geqq 3x^2-14x$が成立することを示せ．