「関数」について
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国立 信州大学 2012年 第2問関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}(1+\sin x)\cos x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$を考える．
(1)$f(x)$の増減と極値，および曲線$y=f(x)$の凹凸を調べ，その概形をかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と，$x$軸および$2$直線$x=0,\ x=\pi$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1)$f(x)$の増減と極値，および曲線$y=f(x)$の凹凸を調べ，その概形をかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と，$x$軸および$2$直線$x=0,\ x=\pi$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
国立 信州大学 2012年 第3問実数$a$に対して，関数$\displaystyle f_a(x)=-3x^2+\left(\frac{5}{4}-x \right)\int_0^a f_a(t) \, dt$を満たすとする．
(1)$\displaystyle k=\int_0^a f_a(t) \, dt$とおく．このとき，$k$を$a$の分数式で表せ．
(2)どのような実数$a$に対しても，$2$次方程式$f_a(x)=4x-20$が異なる$2$つの実数解をもつことを示せ．
(3)(2)の方程式の解がともに正であるような$a$の値の範囲を求めよ．
(1)$\displaystyle k=\int_0^a f_a(t) \, dt$とおく．このとき，$k$を$a$の分数式で表せ．
(2)どのような実数$a$に対しても，$2$次方程式$f_a(x)=4x-20$が異なる$2$つの実数解をもつことを示せ．
(3)(2)の方程式の解がともに正であるような$a$の値の範囲を求めよ．
国立 千葉大学 2012年 第9問以下の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$は第2次導関数$f^{\prime\prime}(x)$が連続で，ある$a<b$に対して，$f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$を満たしているものとする．このとき
\[ f(b)-f(a)=\int_a^b \left( \frac{a+b}{2}-x \right) f^{\prime\prime}(x) \, dx \]
が成り立つことを示せ．
(2)直線道路上における車の走行を考える．ある信号で停止していた車が，時刻0で発進後，距離$L$だけ離れた次の信号に時刻$T$で到達し再び停止した．この間にこの車の加速度の絶対値が$\displaystyle \frac{4L}{T^2}$以上である瞬間があることを示せ．
(1)関数$f(x)$は第2次導関数$f^{\prime\prime}(x)$が連続で，ある$a<b$に対して，$f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$を満たしているものとする．このとき
\[ f(b)-f(a)=\int_a^b \left( \frac{a+b}{2}-x \right) f^{\prime\prime}(x) \, dx \]
が成り立つことを示せ．
(2)直線道路上における車の走行を考える．ある信号で停止していた車が，時刻0で発進後，距離$L$だけ離れた次の信号に時刻$T$で到達し再び停止した．この間にこの車の加速度の絶対値が$\displaystyle \frac{4L}{T^2}$以上である瞬間があることを示せ．
国立 熊本大学 2012年 第3問2つの関数$\displaystyle f(x)=\int_0^x e^t(\sin t+\cos t)\, dt$と$\displaystyle g(x)=\int_0^x e^t(\cos t-\sin t) \, dt$について，以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$と$g(x)$を求めよ．
(2)$f^{(n)}(x)$と$g^{(n)}(x)$をそれぞれ$f(x)$と$g(x)$の第$n$次導関数とする．
(3)$n \geqq 2$のとき， $f^{(n)}(x)$および$g^{(n)}(x)$を，$f^{(n-1)}(x)$と$g^{(n-1)}(x)$を用いて表せ．
(4)$\{f^{(n)}(x)\}^2+\{g^{(n)}(x)\}^2$を求めよ．
(5)実数$a$について，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{2a}}{\{f^{(n)}(a)\}^2+\{g^{(n)}(a)\}^2}$の和を求めよ．
(1)$f(x)$と$g(x)$を求めよ．
(2)$f^{(n)}(x)$と$g^{(n)}(x)$をそれぞれ$f(x)$と$g(x)$の第$n$次導関数とする．
(3)$n \geqq 2$のとき， $f^{(n)}(x)$および$g^{(n)}(x)$を，$f^{(n-1)}(x)$と$g^{(n-1)}(x)$を用いて表せ．
(4)$\{f^{(n)}(x)\}^2+\{g^{(n)}(x)\}^2$を求めよ．
(5)実数$a$について，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{2a}}{\{f^{(n)}(a)\}^2+\{g^{(n)}(a)\}^2}$の和を求めよ．
国立 熊本大学 2012年 第4問関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}|\sin t-x \cos t| \, dt \quad (x>0) \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$a>0$のとき，$a=\tan \theta$を満たす$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$に対して，$\cos \theta$を$a$を用いて表せ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
\[ f(x)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}|\sin t-x \cos t| \, dt \quad (x>0) \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$a>0$のとき，$a=\tan \theta$を満たす$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$に対して，$\cos \theta$を$a$を用いて表せ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
国立 熊本大学 2012年 第3問正の定数$a$に対して，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}|\sin t-ax \cos t| \, dt \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
\[ f(x)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}|\sin t-ax \cos t| \, dt \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
国立 弘前大学 2012年 第2問$f(x)=\{ x^2+(2-e)x+1 \} e^x$とする．ここで$e$は自然対数の底である．
(1)関数$f(x)$の極大値を求めよ．
(2)上で求めた極大値を$b$として，曲線$y=f(x)$と直線$y=b$で囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)関数$f(x)$の極大値を求めよ．
(2)上で求めた極大値を$b$として，曲線$y=f(x)$と直線$y=b$で囲まれる部分の面積を求めよ．
国立 弘前大学 2012年 第3問関数$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+2x$について次の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)実数$a$に対して，$a \leqq x \leqq a+2$のときの$f(x)$の最小値を$g(a)$とおく．関数$b=g(a)$のグラフの概形を$ab$平面上にかけ．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)実数$a$に対して，$a \leqq x \leqq a+2$のときの$f(x)$の最小値を$g(a)$とおく．関数$b=g(a)$のグラフの概形を$ab$平面上にかけ．
国立 千葉大学 2012年 第11問$xy$平面において，長さ$1$の線分$\mathrm{AB}$を点$\mathrm{A}$が原点，点$\mathrm{B}$が点$(1,\ 0)$に重なるように置く．点$\mathrm{A}$を$y$軸に沿って点$(0,\ 1)$まで移動させ，線分$\mathrm{AB}$の長さを$1$に保ったまま点$\mathrm{B}$を$x$軸に沿って原点まで移動させる．このとき線分$\mathrm{AB}$が通る領域を$D$とする．$0 \leqq x \leqq 1$となる実数$x$に対して，点$(x,\ y)$が領域$D$に含まれるような$y$の最大値を$f(x)$とする．
(1)$f(x)$を$x$の式で表せ．
(2)領域$D$を$x$軸を中心に回転させた立体の体積$V$を求めよ．
(1)$f(x)$を$x$の式で表せ．
(2)領域$D$を$x$軸を中心に回転させた立体の体積$V$を求めよ．
国立 弘前大学 2012年 第5問$f(\theta)=\cos 2\theta + 2\cos \theta,\ g(\theta)=\sin 2\theta+2\sin \theta$とする．
(1)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲において，関数$f(\theta),\ g(\theta)$の増減を調べよ．
(2)$xy$平面上の曲線$x=f(\theta),\ y=g(\theta) \ (-\pi \leqq \theta \leqq \pi)$で囲まれる図形の面積を求めよ．
(1)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲において，関数$f(\theta),\ g(\theta)$の増減を調べよ．
(2)$xy$平面上の曲線$x=f(\theta),\ y=g(\theta) \ (-\pi \leqq \theta \leqq \pi)$で囲まれる図形の面積を求めよ．