$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$で定義された関数
\[ f(\theta) = 4\cos 2\theta \sin \theta + 3\sqrt{2} \cos 2\theta -4\sin \theta \]
を考える．

(1)$x=\sin \theta$とおく．$f(\theta)$を$x$で表せ．
(2)$f(\theta)$の最大値と最小値，およびそのときの$\theta$の値を求めよ．
(3)方程式$f(\theta) = k$が相異なる3つの解をもつような実数$k$の値の範囲を求めよ．

$a$を正の定数とし，座標平面上の$2$曲線$C_1:y=e^{x^2},\ C_2:y=ax^2$を考える．このとき以下の問いに答えよ．ただし必要ならば$\displaystyle \lim_{t \to +\infty} \frac{e^t}{t}=+\infty$であることを用いてもよい．

(1)$t>0$の範囲で，関数$\displaystyle f(t)=\frac{e^t}{t}$の最小値を求めよ．
(2)$2$曲線$C_1,\ C_2$の共有点の個数を求めよ．
(3)$C_1,\ C_2$の共有点の個数が$2$のとき，これらの$2$曲線で囲まれた領域を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

$f(x)=4x(1-x)$とする．このとき
\[ \left\{
\begin{array}{l}
f_1(x)=f(x), \\
f_{n+1}(x) = f_n(f(x))
\end{array}
\right. \]
によって定まる多項式$f_n(x)$について以下の問いに答えよ．

(1)方程式$f_2(x)=0$を解け．
(2)$0 \leqq t < 1$を満たす定数$t$に対し，方程式$f(x)=t$の解を$\alpha(t),\ \beta(t)$とする．$c$が$0 \leqq c <1$かつ$f_n(c)=0$を満たすとき，$\alpha(c),\ \beta(c)$は$f_{n+1}(x)=0$の解であることを示せ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$範囲での方程式$f_n(x)=0$の異なる解の個数を$S_n$とする．このとき$S_{n+1}$を$S_n$で表し，一般項$S_n$を求めよ．

実数$a,\ b$に対して，$f(x)=x^2-2ax+b,\ g(x)=x^2-2bx+a$とおく．

(1)$a \neq b$のとき，$f(c)=g(c)$を満たす実数$c$を求めよ．
(2)(1)で求めた$c$について，$a,\ b$が条件$a<c<b$を満たすとする．このとき，連立不等式
\[ f(x)<0 \quad \text{かつ} \quad g(x)<0 \]
が解をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)一般に$a<b$のとき，連立不等式
\[ f(x)<0 \quad \text{かつ} \quad g(x)<0 \]
が解をもつための必要十分条件を求め，その条件を満たす点$(a,\ b)$の範囲を$ab$平面上に図示せよ．

$a>0$とし，関数
\[ f(x) = e^{-ax} \sin (\sqrt{3}ax) \]
は
\[ f^{\ \prime\prime}(x) + f^{\ \prime}(x) +f(x) = 0 \]
を満たすとする．

(1)$a$を求めよ．
(2)$x>0$において$f(x)$が極大となる$x$を小さい方から$x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots$とする．$x_n$を求めよ．
(3)(2)で求めた$x_n$に対し，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty f(x_n)$を求めよ．

$x>0$に対し関数$f(x)$を
\[ f(x) = \int_0^x \frac{dt}{1+t^2} \]
と定め，$\displaystyle g(x) = f\left(\frac{1}{x}\right)$とおく．以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{d}{dx}f(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{d}{dx}g(x)$を求めよ．
(3)$\displaystyle f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$を求めよ．

下記の設問に答えなさい．

(1)$a$を定数とする．次の関数$f(x)$の導関数$f^{\ \prime}(x)$を求めなさい．
\[ f(x) = \int_a^x (t^2+a^2t)\, dt + \int_0^a (t^2+ax)\, dt \]
(2)次の関係式をみたす定数$a$および関数$g(x)$を求めなさい．
\[ \int_a^x (g(t)+tg(a))\, dt = x^2-2x-3 \]

$\displaystyle f(x) = \frac{x+\sqrt{3}}{\sqrt{x^2+1}}$について，次の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$の増減，極値，凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，変曲点の$y$座標は求めなくてよい．
(2)$y=f(x)$と$x$軸および$y$軸とで囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

$0 \leqq x \leqq \pi$に対して，関数$f(x)$を
\[ f(x) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos |t-x|}{1+\sin |t-x|} \, dt\]
と定める．$f(x)$の$0 \leqq x \leqq \pi$における最大値と最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)定積分$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2+\sin x}{1+\cos x}\, dx$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2-3x}$の増減，極値を調べ，そのグラフの概形を描け．ただし，グラフの凹凸，変曲点は調べなくてよい．