$f(x)$を変数$x$の$2$次関数，$F(x)$を$f(x)$の原始関数とする（つまり$F^\prime(x)=f(x)$である）．また$f(x)$と$F(x)$は次の関係を満たすとする．
\[ 3xF(x)-f(x)^2=x^3-7x^2-12x-9 \]
このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$f(x)$を求めなさい．
(2)定積分$\displaystyle \int_a^{a+1} f(x) \, dx$の値が最小となる実数$a$と，そのときの定積分の値を求めなさい．

$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$で定義された関数
\[ f(\theta) = 4\cos 2\theta\, \sin \theta \ +\ 3\!\sqrt{2}\, \cos 2\theta \ -\ 4\sin \theta \]
を考える．

(1)$x=\sin \theta$とおく．$f(\theta)$を$x$で表せ．
(2)$f(\theta)$の最大値と最小値，およびそのときの$\theta$の値を求めよ．

$a$を$0$以上の定数とする．関数$y=x^3-3a^2x$のグラフと方程式$|x|+|y|=2$で表される図形の共有点の個数を求めよ．

$f_0(x)=xe^x$として，正の整数$n$に対して，
\[ f_n(x) = \int_{-x}^{x} f_{n-1}(t)\, dt + f^{\; \prime}_{n-1}(x) \]
により実数$x$の関数$f_n(x)$を定める．

(1)$f_1(x)$を求めよ．
(2)$g(x) = \displaystyle \int_{-x}^x (at+b)e^t \, dt$とするとき，定積分$\displaystyle \int_{-c}^c g(x)\, dx$を求めよ．ただし，実数$a,\ b,\ c$は定数とする．
(3)正の整数$n$に対して，$f_{2n}(x)$を求めよ．

関数$f(x)$を
\[ f(x) = \left| \,2\, \cos^2 x -2\sqrt{3} \, \sin x \, \cos x - \sin x + \sqrt{3}\, \cos x - \frac{5}{4} \, \right| \]
と定める．以下の問いに答えよ．

(1)$t=-\sin x + \sqrt{3} \cos x$とおく．$f(x)$を$t$の関数として表せ．
(2)$x$が$0 \leqq x \leqq 90^\circ$の範囲を動くとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$x$が$0 \leqq x \leqq 90^\circ$の範囲を動くとき，$f(x)$のとりうる値の範囲を求めよ．また，$f(x)$が最大値をとる$x$は，$60^\circ < x< 75^\circ$を満たすことを示せ．

$2\times2$行列$P=\biggl( \begin{array}{cc}
p & q \\
r & s
\end{array} \biggr)$に対して
\[ \mathrm{Tr}(P)=p+s \]
と定める．\\
\quad $a$，$b$，$c$は$a\geqq b>0$，$0\leqq c\leqq1$を満たす実数とする．行列$A$，$B$，$C$，$D$を次で定める．
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & 0 \\
0 & b
\end{array} \biggr),\ B= \biggl( \begin{array}{cc}
b & 0 \\
0 & a
\end{array} \biggr),\ C= \biggl( \begin{array}{cc}
a^c & 0 \\
0 & b^c
\end{array} \biggr),\ D= \biggl( \begin{array}{cc}
b^{1-c} & 0 \\
0 & a^{1-c}
\end{array} \biggr) \]
また実数$x$に対し$U(x)= \biggl( \begin{array}{cc}
\cos x & -\sin x \\
\sin x & \cos x
\end{array} \biggr)$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)各実数$t$に対して，$x$の関数
\[ f(x)=\mathrm{Tr}\Biggl(\Bigl(U(t)AU(-t)-B \Bigr)U(x) \biggl( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array} \biggr)U(-x)\Biggr) \]
の最大値$m(t)$を求めよ．(ただし，最大値をとる$x$を求める必要はない．)
(2)すべての実数$t$に対し
\[ 2\mathrm{Tr}(U(t)CU(-t)D)\geqq \mathrm{Tr}(U(t)AU(-t)+B)-m(t) \]
が成り立つことを示せ．

5次式$f(x) = x^5+px^4+qx^3+rx^2+sx+t \quad (p,\ q,\ r,\ s,\ t \text{は実数})$について考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)数列$f(0),\ f(1),\ f(2),\ f(3),\ f(4)$が等差数列であることと，
\[ f(x) = x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + l x+m \quad (l,\ m \text{は実数}) \]
と書けることは互いに同値であることを示せ．
(2)$f(x)$は(1)の条件をみたすものとする．$\alpha$を実数，$k$を3以上の自然数とする．$k$項からなる数列
\[ f(\alpha),\ f(\alpha+1),\ f(\alpha+2),\ \cdots ,\ f(\alpha+k-1) \]
が等差数列となるような$\alpha,\ k$の組をすべて求めよ．

1個のさいころを3回続けて投げるとき，1回目に出る目を$\ell$，2回目に出る目を$m$，3回目に出る目を$n$で表すことにする．こ
のとき，以下の同いに答えよ．

(1)極限値
\[ \lim_{x \to -1} \frac{l x^2+mx+n}{x+1} \]
が存在する確率を求めよ．
(2)関数
\[ f(x) = \frac{l x^2+mx+n}{x+1} \]
が，$x > -1$の範囲で極値をとる確率を求めよ．

$1$個のさいころを$3$回続けて投げるとき，$1$回目に出る目を$l$，$2$回目に出る目を$m$，$3$回目に出る目を$n$で表し，$3$次式
\[ f(x) = x^3+ l x^2 + mx+n \]
を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$が$(x+1)^2$で割り切れる確率を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$が極大値も極小値もとる確率を求めよ．

関数$f(x) = x^3+3x^2+x-1$を考える．曲線$C:y=f(x)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$t \geqq 0$のとき，曲線$C$は傾きが$t$である接線を$2$本持つことを示せ．
(2)(1)において，傾きが$t$である$2$本の接線と曲線$C$との接点を，それぞれP$(p,\ f(p))$，Q$(q,\ f(q))$とする(ただし$p<q$)．このとき，点Pと点Qは点A$(-1,\ 0)$に関して対称の位置にあることを示せ．
(3)$t \geqq 0$のとき，$2$点P，Qの間の距離の最小値を求めよ．また，最小値を与えるときのP，Qの$x$座標$p,\ q$もそれぞれ求めよ．