$g(x)=\sin^3 x$とおき，$0<\theta<\pi$とする．$x$の$2$次関数$y=h(x)$のグラフは原点を頂点とし，$h(\theta)=g(\theta)$を満たすとする．このとき，曲線$y=g(x) (0 \leqq x \leqq \theta)$と直線$x=\theta$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$G(\theta)$とおく．また，曲線$y=h(x)$と直線$x=\theta$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$H(\theta)$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$H(\theta)$を求めよ．

(2)$\displaystyle G(\theta)=\frac{1}{3}(1-\cos \theta)^2(2+\cos \theta)$を証明せよ．

(3)$\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\frac{G(\theta)}{H(\theta)}$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)頂点間の距離が$24$であり，焦点が$(20,\ 0)$と$(-20,\ 0)$である双曲線の方程式を求めよ．
(2)初項を$a_1=4$とする数列$\{a_n\}$と初項を$b_1=1$とする数列$\{b_n\}$に対して，$c_n=\sqrt{a_nb_n}$，$\displaystyle d_n=\sqrt{\displaystyle\frac{a_n}{b_n}}$とおく．ただし，$a_n>0$，$b_n>0$とする．数列$\{c_n\}$が公差$2$の等差数列となり，数列$\{d_n\}$が公比$3$の等比数列となるとき，$a_5$と$b_5$の値を求めよ．
(3)関数$f(x)=Ax^5+Bx^4+Cx^3+Dx^2+Ex+F$が
\[ f(-x)=-f(x),\quad \lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x^3}=6,\quad \int_0^1 f(x) \, dx=\frac{1}{2} \]
をみたすとき，定数$A,\ B,\ C,\ D,\ E,\ F$の値を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面で，関数$y=\sqrt{x^2-1} (x \geqq 1)$のグラフを$C$とする．また，$t>1$を満たす実数$t$に対し，直線$x+y=t$と$C$との交点を$\mathrm{P}$，直線$x+y=t$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さ$f(t)$を求めなさい．
(2)次の極限値を求めなさい．
\[ \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n f \left( 1+\frac{k(t-1)}{n} \right) \frac{t-1}{\sqrt{2}n} \]
(3)線分$\mathrm{OP}$，$x$軸および$C$で囲まれる図形の面積を$S$とする．$S$を用いて点$\mathrm{P}$の座標を表しなさい．

以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ c$を実数の定数とする．$a>0$のとき，方程式$2x^3-3ax^2=c$の相異なる実数解の個数を求めよ．
(2)$3$次関数$y=x^3-3x$のグラフを$G$とする．$x$座標が正である座標平面上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$を通る$G$の接線が$3$本存在するための，$a,\ b$の条件を求めよ．

$2$次関数$\displaystyle y=\sqrt{2}x^2-\frac{\sqrt{2}}{4}$のグラフを$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)相異なる実数$s,\ t$に対し，$C$上の点$\displaystyle \left( s,\ \sqrt{2}s^2-\frac{\sqrt{2}}{4} \right)$，$\displaystyle \left( t,\ \sqrt{2}t^2-\frac{\sqrt{2}}{4} \right)$における$C$の法線をそれぞれ$\ell_s,\ \ell_t$で表す．$\ell_s$と$\ell_t$の交点の座標を求めよ．ただし，曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における法線とは，$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$における$C$の接線と垂直に交わる直線のことである．
(2)$t$を固定して$s$を$t$に近づけるとき，(1)で求めた交点の$x$座標と$y$座標が近づく値をそれぞれ$f(t)$，$g(t)$で表す．このとき，$f(t)$，$g(t)$を求めよ．
(3)(2)で求めた$f(t)$，$g(t)$を，実数全体で定義された$t$の関数とみなして，
\[ x=f(t),\quad y=g(t) \]
によって媒介変数表示される曲線を$D$とする．このとき，$C$と$D$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

関数$y=e^{2x}-2e^x$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，増減表をつくり，そのグラフを座標平面上に描け．ただし，漸近線および座標軸との交点も調べること．

$3$次関数$f(x)=x^3+3x^2-9x$について，以下の各問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフにおいて，$f(x)$が極大となる点を$\mathrm{A}$，極小となる点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を両端とする線分の中点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフ上に点$\mathrm{D}$をとる．ただし，$\mathrm{D}$の$x$座標は$\mathrm{B}$の$x$座標より大きいものとする．いま，三角形$\mathrm{BCD}$の面積が$480$であるとき，$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$を結ぶ直線の式を求めよ．

関数$y=\sin^3 x+\cos^3 x (0 \leqq x<2\pi)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$t=\sin x+\cos x$として，$\sin x \cos x$と$y$をそれぞれ$t$の関数で表せ．
(2)(1)で定めた$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$y$の最大値と最小値，および，そのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．

$s$を実数とするとき，座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(-1,\ 2)$，$\mathrm{B}(s,\ |1-s|)$に対して，以下の問いに答えよ．

(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を$t$とおく．$t$を$s$の関数で表せ．また，その$s$の関数を$f(s)$とおくとき，$t=f(s)$のグラフを描け．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta \leqq 0$となる$s$の範囲を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{C}$とするとき，線分$\mathrm{OC}$の長さの最小値を求めよ．また，そのときの$s$の値を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\frac{6x^2+4x+1}{(x+1)(2x^2+1)}$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)等式$\displaystyle f(x)=\frac{a}{x+1}+\frac{bx+c}{2x^2+1}$が$x$についての恒等式となるように，定数$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を求めよ．