$p,\ q$を実数の定数とする．$2$次関数$f(x)=x^2+px+q$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(a)=a$を満たす実数$a$が存在するための$p,\ q$についての必要十分条件を求めよ．
(2)$f(a)=b,\ f(b)=a$を満たす異なる実数$a,\ b$が存在することと，$p,\ q$が不等式$(p-1)^2-4(q+1)>0$を満たすことは同値であることを証明せよ．

関数$f(x)=e^x(\sin x-\cos x) (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)=0$となる$x$の値を求めよ．
(2)実数$s$に対して$f(x)=s$を満たす$x$の個数を$g(s)$と表す．$g(s)$を求めよ．
(3)(2)で求めた関数$g(s)$について，$t=g(s)$のグラフをかけ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}x^2-x+\log (x+1) (x>-1)$について，次の問いに答えよ．ただし，不等式$2<e<3$が成り立つことは使ってよい．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．ただし，凹凸，変曲点は調べなくてよい．
(2)$a \neq 0$かつ$f(a)=0$となる$a$はただ$1$つあって，$1<a<2$を満たすことを示せ．
(3)区間$[0,\ a]$において曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を$S_1$とし，区間$[a,\ 4]$において曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=4$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1<S_2$を示せ．

次の問に答えなさい．

(1)$2$つの変数$x,\ y$をもつ関数$f(x,\ y)$を$\displaystyle f(x,\ y)=\frac{x+y}{2}+\frac{|x-y|}{2}$と定める．$x,\ y$が実数の値であるとき，$f(x,\ y)=x$は$x \geqq y$であるための必要十分条件であることを示しなさい．
(2)方程式$x^2+y^2-1+|x^2+y^2-1|=0$を満たす点$(x,\ y)$全体の集合を図示しなさい．

関数$f(x)$を$f(x)=x^2-2x$と定める．このとき，実数$t$に対して，$t-1 \leqq x \leqq t+2$における$f(x)$の最小値を$m(t)$で表す．次の問に答えなさい．

(1)$m(0),\ m(3)$を求めなさい．
(2)$y=m(t)$のグラフを描きなさい．

定数$a_1<a_2<a_3< \cdots$に対して，連続関数$f_n(x) (n=1,\ 2,\ \cdots)$が$f_1(x)=|x-a_1|$，$f_{n+1}(x)=f_n(x)+|x-a_{n+1|}$によって定義されている．

(1)$a_1=1,\ a_2=2$のとき，$f_2(x)$の最小値を求めよ．
(2)$a_1=1,\ a_2=2,\ a_3=3$のとき，$f_3(x)$の最小値を求めよ．
(3)$n$が$2$以上の自然数であるとき，$f_n(x)$の最小値を求めよ．

$a,\ b,\ c,\ p,\ q$を実数とし，整式$f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx-1$を整式$g(x)=x^3+px^2+qx+2$で割った余りは$x^2+1$であるとする．

(1)$f(x)=0$と$g(x)=0$は実数の範囲に共通の解をもたないことを示せ．
(2)$f(x)=0$と$g(x)=0$が共通の解をもつとき，$f(x)$と$g(x)$を求めよ．

$f(x)=4x^2+2x+4$，$g(x)=x^2-x+1$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)すべての実数$x$に対して$f(x)>0$，$g(x)>0$が成り立つことを示せ．
(2)不等式
\[ \log_a \frac{f(x)}{g(x)}<\log_a (2a+1) \]
がすべての実数$x$に対して成り立つような$a$の値の範囲を求めよ．ただし$a>0$，$a \neq 1$とする．

$a>1$を満たす定数$a$に対し，座標が$(a,\ a)$である点を$\mathrm{A}$とする．関数$\displaystyle y=\frac{1}{x} (x>0)$のグラフ上を動く点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ \frac{1}{t} \right)$をとり，$t>0$で定義された関数$f(t)$を，長さ$\mathrm{AP}$を用いて$f(t)=\mathrm{AP}^2$で定める．次の問いに答えよ．

(1)$f(t)$を$t$と$a$を用いて表せ．
(2)$f^\prime(t)=0$となる$t (t>0)$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{AP}$が最小になるような点$\mathrm{P}$の座標と，$\mathrm{AP}$の最小値を求めよ．

関数$f_n(x) (n=1,\ 2,\ \cdots)$を

$f_1(x)=x,$
$\displaystyle f_n(x)=x+\frac{e}{2}\int_0^1 f_{n-1}(t)e^{x-t} \, dt \quad (n=2,\ 3,\ \cdots)$

によって定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f_2(x)$を求めよ．

(2)$a_n=\int_0^1 f_n(t)e^{-t} \, dt$とおく．$n \geqq 2$のとき，$a_n$を$a_{n-1}$で表せ．

(3)$f_n(x)$を求めよ．