$[ア]$～$[オ]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)どのような$2$次関数$f(x)$に対しても
\[ \int_0^2 f(x) \, dx \]
の値は，$f(0)$，$f(1)$，$f(2)$を用いて$[ア]$と表せる．
(2)$k$を実数とする．$xy$平面上の直線$y-2=k(x-1)$と放物線$y=x^2$によって囲まれる図形の面積は，$k=[イ]$のとき最小値$[ウ]$をとる．
(3)$p$を$5$以上の素数とする．$p^3$を$p-4$で割った余りが$4$であるとき，$p=[エ]$である．
(4)$\displaystyle \sum_{n=1}^{2013} \frac{\sin \displaystyle\frac{2n\pi}{7}-\cos \displaystyle\frac{2n\pi}{7}}{|\sin \displaystyle\frac{2n\pi|{7}-\cos \displaystyle\frac{2n\pi}{7}}}=[オ]$

関数$F(x)$を次のように定める．
\[ F(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
x^2 & (x \leqq 1) \\
-x^2+2x & (x>1) \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
実数$k$が$0<k<1$を満たすとき，次の問に答えよ．

(1)直線$y=kx$と曲線$y=F(x)$の交点のうち，原点とは異なるものをすべて求めよ．
(2)直線$y=kx$と曲線$y=F(x)$で囲まれた$2$つの部分のうち，直線$y=kx$の下側にある部分の面積$S_1$を$k$を用いて表せ．
(3)直線$y=kx$と曲線$y=F(x)$で囲まれた$2$つの部分のうち，直線$y=kx$の上側にある部分の面積$S_2$を$k$を用いて表せ．
(4)$(2)$で求めた$S_1$と$(3)$で求めた$S_2$の和$S=S_1+S_2$が最小となるときの$k$の値を求めよ．

以下の各問で，$[　]$にあてはまる数値または記号を求めよ．

(1)放物線$y=ax^2+bx+c$が$3$点$(-3,\ -15)$，$(0,\ -24)$，$(3,\ 21)$を通るとき，
\[ a=[ア],\quad b=[イ],\quad c=-[ウ][エ] \]
であり，この放物線と$x$軸との交点は$(-[オ],\ 0)$，$([カ],\ 0)$である．
(2)点$\mathrm{O}$を$\triangle \mathrm{ABC}$の内心とする．$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$，$\angle \mathrm{ABO}={35}^\circ$のとき，
\[ \angle \mathrm{ACO}={[キ][ク]}^\circ,\quad \angle \mathrm{BOC}={[ケ][コ][サ]}^\circ \]
である．
(3)関数$\displaystyle y=\frac{1}{3} {\left( \frac{1}{8} \right)}^x-2 {\left( \frac{1}{4} \right)}^x+3 {\left( \frac{1}{2} \right)}^x+1 (x>-2)$は


$x=[シ]$で最大値$\displaystyle \frac{[ス]}{[セ]}$


をとり，

$x=-\log_2 [ソ]$で最小値$[タ]$

をとる．
(4)条件$a_1=0$，$\displaystyle a_n=a_{n-1}+\frac{n-1}{2013} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$において，$a_n \geqq 1$を満たす最小の$n$は$[チ][ツ]$であり，
\[ a_{[チ][ツ]}=\frac{[テ][ト][ナ]}{[ニ][ヌ][ネ]} \]
である．

媒介変数表示$\left\{ \begin{array}{l}
x=\theta-\sin \theta \\
y=\cos \theta
\end{array} \right. (0<\theta<2\pi)$で表される曲線$C$について，次の各問に答えよ．

(1)曲線$C$の導関数$\displaystyle \frac{dy}{dx}$を$\theta$の関数で表せ．
(2)曲線$C$と$x$軸で囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1+4x}{1+\sqrt{x}} (x \geqq 0)$を考える．

(1)関数$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[ア]}{[イ]}-\sqrt{[ウ]}$のとき最小値$[エ] \sqrt{[オ]}-[カ]$をとる．
(2)座標平面上の曲線$C:y=f(x) (x \geqq 0)$と$x$軸，$y$軸および直線$x=1$とで囲まれた部分の面積を$S$とすれば
\[ S=\frac{[キク]}{[ケ]}-[コサ] \log 2 \]
である．ただし，対数は自然対数とする．

関数$y=4 \cos^3 x+3 \sin^2 x-6 \cos x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について以下の問いに答えなさい．

(1)$\cos x=t$とおくとき，$y=4 \cos^3 x+3 \sin^2 x-6 \cos x$を$t$の関数として表しなさい．
(2)$t$の取り得る範囲を求めなさい．
(3)$y=4 \cos^3 x+3 \sin^2 x-6 \cos x$の最大値と最小値を求めなさい．またそのときの$x$の値も求めなさい．

関数$\displaystyle y=e^{-\frac{x^2}{2}}$について以下の問いに答えなさい．

(1)$y^\prime$および$y^{\prime\prime}$を求めなさい．
(2)極値を求めなさい．また変曲点の座標も求めなさい．
(3)$\displaystyle y=e^{-\frac{x^2}{2}}$のグラフをかきなさい．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3+2x^2+ax+\frac{4}{3}$について，以下の問いに答えよ．

(1)$a=3$のとき，$y=f(x)$のグラフを書け．
(2)関数$f(x)$が極値をもつための$a$の範囲を求めよ．

関数$f(x)=|x^2-3x|-x$について，以下の問いに答えなさい．

(1)関数$y=f(x)$のグラフをかきなさい．
(2)直線$\ell:y=-x+k$と$y=f(x)$のグラフがちょうど$3$点を共有するとき，定数$k$の値を求めなさい．
(3)(2)で求めた$k$の値に対する直線$\ell$と$y=f(x)$のグラフで囲まれた図形の面積を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)次の関数の導関数を求めよ．

(i) $y=\sqrt{2-x^3}$
(ii) $y=x^2 \cos (\sqrt{2}x)$
(iii) $\displaystyle y=\frac{e^x-2}{e^x+2}$

(2)次の不定積分，定積分を求めよ．

(i) $\displaystyle \int \frac{x^2}{2-x} \, dx$

(ii) $\displaystyle \int \sqrt[3]{x^5+x^3} \, dx$

(iii) $\displaystyle \int_0^1 (1-x) \cos (\pi x) \, dx$