$0 \leqq x \leqq 2\pi$で連続な関数$f(x)$が
\[ f(x)=\cos x \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(y) \sin y \, dy+\sin x \]
をみたすとき，$f(x)$を求めよ．

$a>1$とする．関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{e^x+a}$について，次の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフは変曲点をただ$1$つもつ．この変曲点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$(1)$で求めた変曲点を通り，$y$軸に平行な直線を$\ell$とする．$y=f(x)$のグラフと$x$軸，$y$軸および直線$\ell$で囲まれた図形の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{a \to \infty} S$を求めよ．

$a$を正の定数とし，関数 \makebox{$y=a \cos x$} \ $\displaystyle \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のグラフを$C_1$，関数 \makebox{$y=\sin x$} \ $\displaystyle \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のグラフを$C_2$とする．

(1)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を$\theta$とするとき，$\sin \theta$と$\cos \theta$を$a$を用いて表せ．
(2)$C_1$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形が，$C_2$によって面積の等しい$2$つの部分に分かれるとする．このとき，$a$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\left( {27}^x+\frac{1}{{27}^x} \right)-5 \left( 9^x+\frac{1}{9^x} \right)-5 \left( 3^x+\frac{1}{3^x} \right)+1$について次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle t=3^x+\frac{1}{3^x}$とおくとき，$t$の最小値は$[ヒ]$である．
(2)関数$f(x)$は$\displaystyle x=\log_3 \left( [フ] \pm \sqrt{[ヘ]} \right)$のとき，最小値$[ホ]$をとる．

次の問に答えよ．

(1)$2$つのサイコロを同時にふるとき，出た目の和が$n$である確率を$P_n$とする．自然数$n (2 \leqq n \leqq 12)$に対して
\[ P_n=\frac{[ア]-|n-[イ]|}{[ウ]} \]
である．
(2)整数$p,\ q$に対して，多項式
\[ f(x)=2x^4+(p+2q)x^3+(pq+4)x^2+(2p+2)x+p \]
を考える．$f(0)$，$f(1)$，$f(2)$がすべて素数のとき，$p=[エ]$，$q=[オ]$である．

実数$a,\ b,\ c$に対して，$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$とする．関数$f(x)$は$f(\alpha)=f(\beta)=0 (\alpha \neq \beta)$を満たす．また，この関数は$x=\alpha$で極小値$0$をとり，$x=\gamma$で極大となる．このとき，
\[ \gamma=\frac{[コ] \alpha+[サ] \beta}{[シ]} \]
である．さらに，$\beta=4 \alpha$のとき，極大値と極小値の差が$32$であるとすると，
\[ a=[ス],\quad b=[セ],\quad c=[ソ] \]
である．

$0<t<3$とする．曲線$C:y=f(x)=|x^2-3x|+x-3$と曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線$\ell$とで囲まれた$2$つの部分の面積の和は，$\displaystyle t=\frac{[タ]}{[チ]}$のとき最小となり，その値は$[ツ] \sqrt{[テ]}+[ト]$である．

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}e^{2x}+2e^x+x$とする．次の問に答えよ．

(1)実数$t$に対して$g(x)=tx-f(x)$とおく．$x$が実数全体を動くとき，$g(x)$が最大値をもつような$t$の範囲を求めよ．また$t$がその範囲にあるとき，$g(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(2)$(1)$で求めた最大値を$m(t)$とする．$a$を定数とし，$t$の関数$h(t)=at-m(t)$を考える．$t$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$h(t)$の最大値を求めよ．

関数$f(x)=x^3+ax^2+bx$が$x=\alpha$で極大値，$x=\beta$で極小値をとるとき，次の各問に答えよ．

(1)極大値と極小値がともに存在するための条件を，$a$と$b$を用いて表せ．
(2)$\alpha+\beta$を，$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$f(\alpha)+f(\beta)$を，$a$と$b$を用いて表せ．
(4)$f(\alpha)+f(\beta)=0$が成り立つための条件を，$a$と$b$を用いて表せ．

次の$[　]$にあてはまる数または数式を記入せよ．

(1)$a,\ b$は定数で，$x$についての整式$x^3+ax+b$は${(x+1)}^2$で割り切れるとする．このとき，$a=[　]$，$b=[　]$である．
(2)$5$個の自然数の組$(a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5)$で，
\[ a_1=1,\quad a_n+1 \leqq a_{n+1} \leqq a_n+2 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ 4) \]
を満たすものは全部で$[　]$組ある．
(3)$3$次関数$f(x)$は$x=1$と$x=2$で極値をとり，曲線$y=f(x)$と曲線$\displaystyle y=\frac{3x}{2 \sqrt{x^2+1}}+1$は点$(0,\ 1)$において共通の接線を持つとする．このとき，$f(x)=[　]$である．
(4)ある花の$1$個の球根が$1$年後に$3$個，$2$個，$1$個，$0$個（消滅）になる確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{3}{10}$，$\displaystyle \frac{2}{5}$，$\displaystyle \frac{1}{5}$，$\displaystyle \frac{1}{10}$であるとする．$1$個の球根が$2$年後に$2$個になっている確率は$[　]$である．