「関数」について
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私立 大阪工業大学 2013年 第3問関数$\displaystyle f(x)=\frac{3x+a}{x^2+1}$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は実数とする．
(1)$f(x)$を微分せよ．
(2)$f(x)$が$x=3$で極値をとるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$a$を$(2)$で求めた値とするとき，$f(x)$の増減を調べて，極値をすべて求めよ．
(1)$f(x)$を微分せよ．
(2)$f(x)$が$x=3$で極値をとるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$a$を$(2)$で求めた値とするとき，$f(x)$の増減を調べて，極値をすべて求めよ．
私立 産業医科大学 2013年 第3問$b$を$b>1$となる定数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の点$\mathrm{P}(x_0,\ y_0)$の座標は${x_0}^2+{y_0}^2=b$，${x_0}^2 \geqq 1$を満たすとする．このとき，点$\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{x_0}{\sqrt{3}},\ x_0{y_0}^2 \right)$に対し，次の問いに答えなさい．
(1)${x_0}^2=t$とおくとき，線分$\mathrm{OQ}$の長さの$2$乗$\mathrm{OQ}^2$を$t$の関数として表しなさい．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを最大にする${x_0}^2$を求めなさい．
(1)${x_0}^2=t$とおくとき，線分$\mathrm{OQ}$の長さの$2$乗$\mathrm{OQ}^2$を$t$の関数として表しなさい．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを最大にする${x_0}^2$を求めなさい．
私立 産業医科大学 2013年 第1問空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．
(1)$100$円，$50$円，$10$円の硬貨がそれぞれたくさんあるとする．ある品物を買うのに$2300$円かかるとき，このお金による支払い方の総数は$[ ]$である．
(2)整式$P(x)$を$x^2-4x+3$で割ったときの余りは$x+1$であり，$x^2-3x+2$で割ったときの余りは$3x-1$である．$P(x)$を$x^3-6x^2+11x-6$で割ったときの余りは$[ ]$である．
(3)数列の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{2n} (k+n)^2}{\sum_{k=1}^{2n} k^2}$の値は$[ ]$である．
(4)$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$で表される座標平面上の曲線を$C$とする．曲線$C$上の$x$座標が$s (0<s<1)$である点における接線を$\ell$とする．接線$\ell$と曲線$C$および$x$軸，$y$軸とで囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積の最小値は$[ ]$である．また，そのときの$s$の値は$[ ]$である．
(5)原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$を結ぶ線分上に点$\mathrm{P}$がある．$\theta=\angle \mathrm{AOP}$とし，線分$\mathrm{OP}$の長さを$r$とするとき，$r$は$\theta$の関数として$r=f(\theta)$と表せる．このとき定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta) \, d\theta$の値は$[ ]$であり，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta)^2 \cos \theta \, d\theta$の値は$[ ]$である．
(6)$\mathrm{A}$が$1$枚のカードを，$\mathrm{B}$が$4$枚のカードを持っている．表が出る確率と裏が出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の偏りのないコインを投げて，表が出れば$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$からカードを$1$枚もらう．裏が出れば$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$にカードを$1$枚わたす．ただし，手もとにカードがなければわたさなくてよい．この試行を$4$回くり返した後，$\mathrm{A}$の手もとに残るカードの枚数の期待値は$[ ]$である．
(1)$100$円，$50$円，$10$円の硬貨がそれぞれたくさんあるとする．ある品物を買うのに$2300$円かかるとき，このお金による支払い方の総数は$[ ]$である．
(2)整式$P(x)$を$x^2-4x+3$で割ったときの余りは$x+1$であり，$x^2-3x+2$で割ったときの余りは$3x-1$である．$P(x)$を$x^3-6x^2+11x-6$で割ったときの余りは$[ ]$である．
(3)数列の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{2n} (k+n)^2}{\sum_{k=1}^{2n} k^2}$の値は$[ ]$である．
(4)$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$で表される座標平面上の曲線を$C$とする．曲線$C$上の$x$座標が$s (0<s<1)$である点における接線を$\ell$とする．接線$\ell$と曲線$C$および$x$軸，$y$軸とで囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積の最小値は$[ ]$である．また，そのときの$s$の値は$[ ]$である．
(5)原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$を結ぶ線分上に点$\mathrm{P}$がある．$\theta=\angle \mathrm{AOP}$とし，線分$\mathrm{OP}$の長さを$r$とするとき，$r$は$\theta$の関数として$r=f(\theta)$と表せる．このとき定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta) \, d\theta$の値は$[ ]$であり，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta)^2 \cos \theta \, d\theta$の値は$[ ]$である．
(6)$\mathrm{A}$が$1$枚のカードを，$\mathrm{B}$が$4$枚のカードを持っている．表が出る確率と裏が出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の偏りのないコインを投げて，表が出れば$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$からカードを$1$枚もらう．裏が出れば$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$にカードを$1$枚わたす．ただし，手もとにカードがなければわたさなくてよい．この試行を$4$回くり返した後，$\mathrm{A}$の手もとに残るカードの枚数の期待値は$[ ]$である．
私立 広島工業大学 2013年 第3問$a,\ b$を定数とする．$3$次関数$f(x)=ax^2(x-3)+b$の区間$0 \leqq x \leqq 3$における最大値が$1$で最小値が$-1$のとき，$a,\ b$の値を求めよ．
私立 広島工業大学 2013年 第7問$2$次不等式$x^2-2ax \leqq x$において，定数$a$は$\displaystyle a<-\frac{1}{2}$を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)この$2$次不等式を満たす実数$x$の値の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲において，関数$f(x)=x^2-4ax$の最小値が$-11$であるとき，定数$a$の値を求めよ．
(1)この$2$次不等式を満たす実数$x$の値の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲において，関数$f(x)=x^2-4ax$の最小値が$-11$であるとき，定数$a$の値を求めよ．
私立 大阪工業大学 2013年 第4問関数$f(x)=\log x$について，次の問いに答えよ．
(1)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における接線$\ell_1$が原点$\mathrm{O}$を通るとき，$a$の値を求めよ．
(2)$a$を$(1)$で求めた値とするとき，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における法線$\ell_2$の方程式を求めよ．
(3)部分積分法を用いて，$\displaystyle \int \log x \, dx$を計算せよ．
(4)$(2)$で求めた法線$\ell_2$と曲線$y=\log x$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における接線$\ell_1$が原点$\mathrm{O}$を通るとき，$a$の値を求めよ．
(2)$a$を$(1)$で求めた値とするとき，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における法線$\ell_2$の方程式を求めよ．
(3)部分積分法を用いて，$\displaystyle \int \log x \, dx$を計算せよ．
(4)$(2)$で求めた法線$\ell_2$と曲線$y=\log x$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
私立 成城大学 2013年 第1問$x$の多項式$f(x)$について，$t$についての恒等式
\[ f(t)+f(t^2+t)=tf(t)+3t-2 \]
が成り立つとする．
(1)$f(x)$は何次式か．
(2)$f(x)$を求めよ．
\[ f(t)+f(t^2+t)=tf(t)+3t-2 \]
が成り立つとする．
(1)$f(x)$は何次式か．
(2)$f(x)$を求めよ．
私立 東京女子大学 2013年 第6問$\displaystyle f(x)=\int_0^1 f(y-1)e^{x-y} \, dy+1$がすべての実数$x$について成り立つとき，関数$f(x)$を求めよ．
私立 成城大学 2013年 第3問$1 \leqq x \leqq 4$のとき，関数
\[ y=(\log_2 x)^3-\log_2 x^3+1 \]
の最大値，最小値と，そのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．
\[ y=(\log_2 x)^3-\log_2 x^3+1 \]
の最大値，最小値と，そのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．
私立 津田塾大学 2013年 第2問放物線$C:y=x^2$と点$\mathrm{P}(0,\ t)$を考える．ただし，$t$は正の実数である．$C$上の点の中で点$\mathrm{P}$との距離が最小となる点を$\mathrm{Q}$とする．
(1)$f(t)=\mathrm{PQ}^2$とするとき，関数$f(t)$のグラフをかけ．
(2)点$\mathrm{P}$を中心とし点$\mathrm{Q}$を通る円と，$C$との共有点の数を求めよ．
(1)$f(t)=\mathrm{PQ}^2$とするとき，関数$f(t)$のグラフをかけ．
(2)点$\mathrm{P}$を中心とし点$\mathrm{Q}$を通る円と，$C$との共有点の数を求めよ．