$\displaystyle f(x)=\int_0^x (x-t)^2 (\sin t+\cos t) \, dt$とする．このとき，$f^\prime(x)=[$22$]$，$f^{\prime\prime}(x)=[$23$]$となる．また，$f(\pi)=[$24$]$である．

関数$y=\cos^2 \theta+2 \sin \theta+2$について，次の問いに答えよ．

(1)$\sin \theta=t$とおくとき，$y$を$t$の式で表せ．

(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$のとき，$y$の値を求めよ．

(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，$y$の最大値および最小値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

$a$を正の実数とする．関数$y=f(x)=2x^3-6a^2x$について，次の問いに答えよ．

(1)$a=1$のとき，関数$y=f(x)$上の点$(2,\ 4)$における接線の方程式を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフが原点に関して点対称であることを示せ．
(3)関数$f(x)$が極大となるグラフ上の点を通り，$x$軸と平行な直線が，再びこのグラフと交わる点の座標を求めよ．

定価が$1$個$60$円の商品がある．この商品を定価と同じ価格で販売したところ，$1$日の売り上げ個数は$1500$個であった．このとき，次の問いに答えよ．

(1)この商品を定価以上の価格で販売したところ，$1$円値上げするごとに$1$日の売り上げ個数が$15$個の割合で減少した．定価からの値上げ額を$x$円，$1$日の売り上げを$y$円として，$y$を$x$の関数で表せ．ただし，$x \geqq 0$，$y \geqq 0$とする．
(2)$(1)$の場合において，この商品の価格がいくらのとき，$1$日の売り上げが最高になるか求めよ．また，そのときの売り上げがいくらになるか求めよ．
(3)この商品を定価以下の価格で販売したところ，$1$円値下げするごとに$1$日の売り上げ個数が$50$個の割合で増えた．このとき，$(2)$で求めた売り上げの最高額よりも$1$日の売り上げが高くなるような価格の範囲を求めよ．

$1$から$6$の目が等確率で出るサイコロを投げ，出た目の数が偶数のとき定数$a_1$の値を$1$，奇数のとき$-1$と決める．定数$b_1,\ c_1,\ a_2,\ b_2,\ c_2$の値についてもそれぞれ同じ方法で$1$または$-1$に決める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$1$次関数$y=a_1x+b_1$と$y=a_2x+b_2$が$xy$平面上で共有点をもつ確率を求めよ．
(2)$1$次関数$y=a_1x+b_1$と$y=a_2x+b_2$が$xy$平面上で共有点をもたないとき，$2$次関数$y=a_1(x-b_1)^2+c_1$と$y=a_2(x-b_2)^2+c_2$が$xy$平面上で共有点をもつ確率を求めよ．
(3)$2$次関数$y=a_1(x-b_1)^2+c_1$と$y=a_2(x-b_2)^2+c_2$が$xy$平面上で共有点をもつ確率を求めよ．

関数$f(x)=x^3-3x^2+4$とする．$k$を実数とし，$y=f(x)$を$x$軸方向に$k$，$y$軸方向に$-4$だけ平行移動した曲線の方程式を$y=g(x)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$g(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$が異なる$2$つの交点をもち，このうちどちらか一方の交点の$x$座標が$2$であるとき，$k$の値を求めよ．
(3)$k$が$(2)$で求めた値をとるとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$x \geqq 1$の実数$x$に対し，方程式
\[ f(x)=(\log_e x)^2-\int_1^e \frac{f(t)}{t} \, dt \]
を満たす関数$f(x)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_1^e \frac{(\log_e t)^2}{t} \, dt=\frac{[ア]}{[イ]}$であることに注意すると，
\[ f(x)=(\log_e x)^2-\frac{[ウ]}{[エ]} \]
となる．また，曲線$y=f(x)$の変曲点の$y$座標の値は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]}$である．
(2)点$(e,\ f(e))$における$y=f(x)$の接線の方程式は
\[ y=[キ] e^{[クケ]} x-\frac{[コ]}{[サ]} \]
である．この接線と曲線$y=f(x)$および直線$x=1$で囲まれた図形の面積は
\[ [シス]+\frac{1}{e} \left( [セ]+e^{[ソ]} \right) \]
である．

関数$f(x)=2x^3-3x^2-12x$の区間$-2 \leqq x \leqq 1$での最大値は$x=[　]$のとき$[　]$であり，最小値は$x=[　]$のとき$[　]$である．また，区間$-2 \leqq x \leqq 4$のとき，$f(x)$の最大値から最小値を引いた値は$[　]$である．

$\displaystyle f(x)=\frac{\cos 5x}{\cos x} \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$とする．

(1)$\cos 4x=a \cos^2 2x+b$をみたす定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$\cos 4x=l \cos^4 x+m \cos^2 x+n$をみたす定数$l,\ m,\ n$の値を求めよ．
(3)$\sin 4x \sin x=(p \cos^4 x+q \cos^2 x+r) \cos x$をみたす定数$p,\ q,\ r$の値を求めよ．
(4)$f(x)$の最小値を求めよ．

$0<a<2$とする．$x \geqq 0$のとき$f(x)=x^3$，$x<0$のとき$f(x)=x^2+2x$とする．

(1)曲線$y=f(x)$と直線$y=ax$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)曲線$y=f(x) (x \geqq 0)$と直線$y=ax$で囲まれる部分の面積$S(a)$を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=ax$で囲まれる$2$つの部分の面積の和$T(a)$を求めよ．
(4)$T(a)$を最小にする$a$の値を求めよ．