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（122ページ目：全2213問中1211問～1220問を表示）
私立 北里大学 2013年 第3問以下の問に答えよ．
(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log (x+1)}{\log x} (x>1)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)次の不等式を証明せよ．
\[ \log_32<\log_43<\log_54<\log_65<\log_76<\log_87<\log_98<\log_{10}9 \]
(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log (x+1)}{\log x} (x>1)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)次の不等式を証明せよ．
\[ \log_32<\log_43<\log_54<\log_65<\log_76<\log_87<\log_98<\log_{10}9 \]
私立 東京都市大学 2013年 第2問次の問に答えよ．
(1)関数$f(x)=x^3+3ax^2+3(10-3a)x$が極値をもつような実数$a$の範囲を求めよ．
(2)曲線$y=e^x-2$と$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\cos x) \log (\sin x) \, dx$の値を求めよ．ただし，$\log$は自然対数とする．
(1)関数$f(x)=x^3+3ax^2+3(10-3a)x$が極値をもつような実数$a$の範囲を求めよ．
(2)曲線$y=e^x-2$と$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\cos x) \log (\sin x) \, dx$の値を求めよ．ただし，$\log$は自然対数とする．
私立 東京都市大学 2013年 第4問関数$f(x)$を$f(x)=(2x-1)^2 e^{\frac{1}{x}}$とおく．次の問に答えよ．
(1)関数$y=e^{\frac{1}{x}}$を微分せよ．
(2)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to -0}f(x)$を調べよ．
(4)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ．
(1)関数$y=e^{\frac{1}{x}}$を微分せよ．
(2)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to -0}f(x)$を調べよ．
(4)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ．
私立 東京都市大学 2013年 第2問次の問に答えよ．
(1)関数$y=\cos^2 x$のグラフの$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$である点における接線の方程式を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^4 x \log (x+1) \, dx$の値を求めよ．ただし，$\log$は自然対数とする．
(3)$\displaystyle \int_a^1 \left( \frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^3} \right) \, dx=0$を満たす正の定数$a$をすべて求めよ．
(1)関数$y=\cos^2 x$のグラフの$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$である点における接線の方程式を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^4 x \log (x+1) \, dx$の値を求めよ．ただし，$\log$は自然対数とする．
(3)$\displaystyle \int_a^1 \left( \frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^3} \right) \, dx=0$を満たす正の定数$a$をすべて求めよ．
私立 東京都市大学 2013年 第4問関数$f(x)$を$f(x)=(x-1)e^{-(x-1)^2}$とおく．次の問に答えよ．
(1)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$と第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)$f^\prime(x)=0$となる$x$の値と，$f^{\prime\prime}(x)=0$となる$x$の値を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)=0$，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=0$は用いてよい．
(1)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$と第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)$f^\prime(x)=0$となる$x$の値と，$f^{\prime\prime}(x)=0$となる$x$の値を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)=0$，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=0$は用いてよい．
私立 埼玉工業大学 2013年 第3問方程式$2x^3+x^2-2xy+3y^2+y^3=6$で定められる$x$の関数$y$の導関数は，
\[ \frac{dy}{dx}=\frac{[ ]x^2+[ ]x-[ ]y}{[ ]x-[ ]y-[ ]y^2} \]
である．
\[ \frac{dy}{dx}=\frac{[ ]x^2+[ ]x-[ ]y}{[ ]x-[ ]y-[ ]y^2} \]
である．
私立 千葉工業大学 2013年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$\mathrm{A}$地点から$15 \, \mathrm{km}$離れた$\mathrm{B}$地点まで行くのに，初めは時速$4 \, \mathrm{km}$で歩き，途中から時速$6 \, \mathrm{km}$で歩くことにする．$\mathrm{A}$地点を出発後，$3$時間以内に$\mathrm{B}$地点に到着するためには，時速$4 \, \mathrm{km}$で歩ける距離は最大で$[ア] \, \mathrm{km}$である．
(2)半径$2 \sqrt{6}$の円に内接する正三角形の$1$辺の長さは$[イ] \sqrt{[ウ]}$である．
(3)中心が$(-2,\ 3)$で，$y$軸に接する円の方程式は$x^2+y^2+[エ]x-[オ]y+[カ]=0$である．
(4)$3^n$の一の位の数字が$1$になる正の整数$n$の最小値は$[キ]$であり，$3^{102}$の一の位の数字は$[ク]$である．
(5)数直線上の集合$A=\{x \;|\; 2<x<9 \}$，$B=\{x \;|\; k<x<k+2 \}$（ただし，$k$は定数）において，$A \cap B$が空集合となるような$k$の値の範囲は$k \leqq [ケ]$または$[コ] \leqq k$である．
(6)白玉$3$個，赤玉$5$個の計$8$個の玉が入った箱の中から同時に$4$個の玉を取り出すとき，白玉も赤玉もともに取り出される確率は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[スセ]}$である．
(7)方程式$\displaystyle 9^x=\frac{3}{27^x}$の解は$\displaystyle x=\frac{[ソ]}{[タ]}$である．
(8)関数$f(x)=-2x^3-6x^2+9$の極大値は$[チ]$，極小値は$[ツ]$である．
(1)$\mathrm{A}$地点から$15 \, \mathrm{km}$離れた$\mathrm{B}$地点まで行くのに，初めは時速$4 \, \mathrm{km}$で歩き，途中から時速$6 \, \mathrm{km}$で歩くことにする．$\mathrm{A}$地点を出発後，$3$時間以内に$\mathrm{B}$地点に到着するためには，時速$4 \, \mathrm{km}$で歩ける距離は最大で$[ア] \, \mathrm{km}$である．
(2)半径$2 \sqrt{6}$の円に内接する正三角形の$1$辺の長さは$[イ] \sqrt{[ウ]}$である．
(3)中心が$(-2,\ 3)$で，$y$軸に接する円の方程式は$x^2+y^2+[エ]x-[オ]y+[カ]=0$である．
(4)$3^n$の一の位の数字が$1$になる正の整数$n$の最小値は$[キ]$であり，$3^{102}$の一の位の数字は$[ク]$である．
(5)数直線上の集合$A=\{x \;|\; 2<x<9 \}$，$B=\{x \;|\; k<x<k+2 \}$（ただし，$k$は定数）において，$A \cap B$が空集合となるような$k$の値の範囲は$k \leqq [ケ]$または$[コ] \leqq k$である．
(6)白玉$3$個，赤玉$5$個の計$8$個の玉が入った箱の中から同時に$4$個の玉を取り出すとき，白玉も赤玉もともに取り出される確率は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[スセ]}$である．
(7)方程式$\displaystyle 9^x=\frac{3}{27^x}$の解は$\displaystyle x=\frac{[ソ]}{[タ]}$である．
(8)関数$f(x)=-2x^3-6x^2+9$の極大値は$[チ]$，極小値は$[ツ]$である．
私立 千葉工業大学 2013年 第2問次の各問に答えよ．
(1)関数$f(x)=8 \cos 2x+9 \tan^2 x$は，$\displaystyle f(x)=[アイ] \cos^2 x+\frac{[ウ]}{\cos^2 x}-[エオ]$と変形できる．$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$において，$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[カ]}{[キ]} \pi$のとき最小値$[ク]$をとる．
(2)$x$の不等式$\log_a(x+1)^2>\log_a \{9(x+5)\}$の解は，$a>1$のとき，$[ケコ]<x<[サシ]$，$[スセ]<x$であり，$0<a<1$のときは，$[サシ]<x<[ソタ]$，$[ソタ]<x<[スセ]$である．
(1)関数$f(x)=8 \cos 2x+9 \tan^2 x$は，$\displaystyle f(x)=[アイ] \cos^2 x+\frac{[ウ]}{\cos^2 x}-[エオ]$と変形できる．$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$において，$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[カ]}{[キ]} \pi$のとき最小値$[ク]$をとる．
(2)$x$の不等式$\log_a(x+1)^2>\log_a \{9(x+5)\}$の解は，$a>1$のとき，$[ケコ]<x<[サシ]$，$[スセ]<x$であり，$0<a<1$のときは，$[サシ]<x<[ソタ]$，$[ソタ]<x<[スセ]$である．
私立 北海道医療大学 2013年 第3問$3$次関数$f(x)=x^3+2kx^2-kx+1$について，以下の問に答えよ．ただし，$k$は定数とする．
(1)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$f(x)$が極大値と極小値をもつときの$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$k$が$(2)$で求めた範囲にあるとき，極値を与える$x$の値を$\alpha,\ \beta$とおく．このとき，$\alpha\beta$，$\alpha+\beta$，$\alpha^2+\beta^2$，$\alpha^3+\beta^3$の値を求めよ．ただし，$\alpha>\beta$とする．
(4)$k$が$(2)$で求めた範囲にあるとき，極大値と極小値の和を$k$を用いて表せ．
(1)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$f(x)$が極大値と極小値をもつときの$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$k$が$(2)$で求めた範囲にあるとき，極値を与える$x$の値を$\alpha,\ \beta$とおく．このとき，$\alpha\beta$，$\alpha+\beta$，$\alpha^2+\beta^2$，$\alpha^3+\beta^3$の値を求めよ．ただし，$\alpha>\beta$とする．
(4)$k$が$(2)$で求めた範囲にあるとき，極大値と極小値の和を$k$を用いて表せ．
私立 北海道医療大学 2013年 第1問以下の問に答えよ．
(1)関数$y=2x^2-3x+2 (-1 \leqq x \leqq 2)$の最大値を$A$，最小値を$B$とするとき，$A,\ B$の値を求めよ．
(2)不等式$\displaystyle |x-1|<-\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$の解は$A<x<B$となる．$A,\ B$の値を求めよ．
(3)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(4,\ 5)$，$\mathrm{B}(2,\ 1)$，$\mathrm{C}(6,\ 2)$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下した垂線を$\mathrm{AH}$とするとき，$\triangle \mathrm{ABH}$の面積を求めよ．
(4)$2$つの放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2}$と$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x^2+2kx-\frac{3}{2}k$が共有点を持たないような定数$k$の値の範囲は，$A<k<B$となる．$A,\ B$の値を求めよ．
(5)$\displaystyle \frac{\sqrt{17}+3}{\sqrt{17}-3}$の小数部分の値を求めよ．
(1)関数$y=2x^2-3x+2 (-1 \leqq x \leqq 2)$の最大値を$A$，最小値を$B$とするとき，$A,\ B$の値を求めよ．
(2)不等式$\displaystyle |x-1|<-\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$の解は$A<x<B$となる．$A,\ B$の値を求めよ．
(3)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(4,\ 5)$，$\mathrm{B}(2,\ 1)$，$\mathrm{C}(6,\ 2)$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下した垂線を$\mathrm{AH}$とするとき，$\triangle \mathrm{ABH}$の面積を求めよ．
(4)$2$つの放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2}$と$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x^2+2kx-\frac{3}{2}k$が共有点を持たないような定数$k$の値の範囲は，$A<k<B$となる．$A,\ B$の値を求めよ．
(5)$\displaystyle \frac{\sqrt{17}+3}{\sqrt{17}-3}$の小数部分の値を求めよ．