「関数」について
タグ「関数」の検索結果
（121ページ目：全2213問中1201問～1210問を表示）
私立 津田塾大学 2013年 第2問$f(x)=2x^3-6x+1$とし，曲線$y=f(x)$を$C$とする．
(1)$C$上の点$(a,\ f(a))$における接線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で求めた接線を$y$軸方向に$+1$平行移動した直線を$\ell$とする．$\ell$と$C$が接するときの$a$の値を求めよ．
(1)$C$上の点$(a,\ f(a))$における接線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で求めた接線を$y$軸方向に$+1$平行移動した直線を$\ell$とする．$\ell$と$C$が接するときの$a$の値を求めよ．
私立 津田塾大学 2013年 第1問次の問に答えよ．
(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(e^{3x}-1)}{1-\cos x}$を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$は$0 \leqq x \leqq 3$において連続で，$f(x)>0$とする．曲線$y=f(x)$，$x$軸，および直線$x=0$，$x=3$により囲まれた図形を$D$とする．$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$6 \pi$であり，$D$を直線$y=-1$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$13 \pi$である．$D$の面積を求めよ．
(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(e^{3x}-1)}{1-\cos x}$を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$は$0 \leqq x \leqq 3$において連続で，$f(x)>0$とする．曲線$y=f(x)$，$x$軸，および直線$x=0$，$x=3$により囲まれた図形を$D$とする．$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$6 \pi$であり，$D$を直線$y=-1$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$13 \pi$である．$D$の面積を求めよ．
私立 東北工業大学 2013年 第1問$2$次関数$y=ax^2+bx+12 (a \neq 0)$のグラフがある．この関数のグラフの軸は，直線$x=-2$であるとする．
(1)この関数のグラフが点$(2,\ 0)$を通るならば，頂点の$y$座標は$[][]$である．
(2)定義域$-3 \leqq x \leqq 2$に対する値域が$-4 \leqq y \leqq 60$ならば，$a=[][]$，$b=[][]$である．
(3)このグラフを$y$軸方向に$-4$だけ平行移動させたとき$x$軸と接するならば，$a=[][]$，$b=[][]$である．
(1)この関数のグラフが点$(2,\ 0)$を通るならば，頂点の$y$座標は$[][]$である．
(2)定義域$-3 \leqq x \leqq 2$に対する値域が$-4 \leqq y \leqq 60$ならば，$a=[][]$，$b=[][]$である．
(3)このグラフを$y$軸方向に$-4$だけ平行移動させたとき$x$軸と接するならば，$a=[][]$，$b=[][]$である．
私立 藤田保健衛生大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq \theta<2\pi$とする．$2 \sin^2 \theta-3 \cos \theta-3 \geqq 0$を満足する$\theta$の範囲は$[ ]$であり，この$\theta$に対する$\tan \theta$の最大値は$[ ]$である．
(2)数字$1$のカード$1$枚，数字$3$のカード$2$枚，数字$a$（$a$は$1,\ 3,\ 6$以外の正の整数）のカード$2$枚，数字$6$のカード$b$枚の中から無作為に$1$枚のカードを取り出したとき，そのカードに記された数字の期待値が$\displaystyle \frac{9}{2}$になった．このとき$(a,\ b)$の組をすべて求めると$(a,\ b)=[ ]$である．
(3)$f(x)=x^6-2x^4-x^2+2$とする．$f(x)$を整数の範囲で因数分解すると$[ ]$となり，複素数の範囲で因数分解すると$[ ]$となる．
(1)$0 \leqq \theta<2\pi$とする．$2 \sin^2 \theta-3 \cos \theta-3 \geqq 0$を満足する$\theta$の範囲は$[ ]$であり，この$\theta$に対する$\tan \theta$の最大値は$[ ]$である．
(2)数字$1$のカード$1$枚，数字$3$のカード$2$枚，数字$a$（$a$は$1,\ 3,\ 6$以外の正の整数）のカード$2$枚，数字$6$のカード$b$枚の中から無作為に$1$枚のカードを取り出したとき，そのカードに記された数字の期待値が$\displaystyle \frac{9}{2}$になった．このとき$(a,\ b)$の組をすべて求めると$(a,\ b)=[ ]$である．
(3)$f(x)=x^6-2x^4-x^2+2$とする．$f(x)$を整数の範囲で因数分解すると$[ ]$となり，複素数の範囲で因数分解すると$[ ]$となる．
私立 藤田保健衛生大学 2013年 第2問次の問いに答えよ．
(1)任意の$x$の$1$次関数$f(x)$に対して$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \, dx=Af(0)+Bf \left( \frac{\pi}{2} \right)$が常に成り立つような定数$A,\ B$を求めると，$(A,\ B)=[ ]$である．
(2)任意の$x$の$2$次関数$f(x)$に対して$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=Af(0)+Bf \left( \frac{1}{2} \right)+Cf(1)$が常に成り立つような定数$A,\ B,\ C$を求めると，$(A,\ B,\ C)=[ ]$である．
(1)任意の$x$の$1$次関数$f(x)$に対して$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \, dx=Af(0)+Bf \left( \frac{\pi}{2} \right)$が常に成り立つような定数$A,\ B$を求めると，$(A,\ B)=[ ]$である．
(2)任意の$x$の$2$次関数$f(x)$に対して$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=Af(0)+Bf \left( \frac{1}{2} \right)+Cf(1)$が常に成り立つような定数$A,\ B,\ C$を求めると，$(A,\ B,\ C)=[ ]$である．
私立 藤田保健衛生大学 2013年 第4問$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$とする．時刻$t$における座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$の位置が$x=\sin t$，$y=\sin 2t$で与えられている．
(1)原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$から点$\mathrm{P}$が最も遠方にあるとき，$2$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$間の距離は$[ ]$であり，そのときの点$\mathrm{P}$の速度$\overrightarrow{v}$は$\overrightarrow{v}=[ ]$である．
(2)点$\mathrm{P}$の軌跡を$y=f(x)$と表すと，$f(x)=[ ]$である．ただし$x$の範囲は$[ ]$である．
(3)$(2)$で求めた軌跡と$x$軸とで囲まれてできる図形の面積は$[ ]$である．
(1)原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$から点$\mathrm{P}$が最も遠方にあるとき，$2$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$間の距離は$[ ]$であり，そのときの点$\mathrm{P}$の速度$\overrightarrow{v}$は$\overrightarrow{v}=[ ]$である．
(2)点$\mathrm{P}$の軌跡を$y=f(x)$と表すと，$f(x)=[ ]$である．ただし$x$の範囲は$[ ]$である．
(3)$(2)$で求めた軌跡と$x$軸とで囲まれてできる図形の面積は$[ ]$である．
私立 東北工業大学 2013年 第5問$2$次関数$f(x)$があり，$f(0)=24$である．また，その導関数を$f^\prime(x)=ax-b$とおく．ただし，$a,\ b$はともに定数であり，$a>0$とする．このとき，
(1)$a=[][],\ b=[][]$ならば，$f(1)=f(3)=0$である．
(2)$a=[][],\ b=[][]$ならば，$x=2.5$のとき$f(x)$が極小となり，その極小値は$-1$である．
(3)$f^\prime(1.5)=25$ならば，$f(3)=[][]$である．
(1)$a=[][],\ b=[][]$ならば，$f(1)=f(3)=0$である．
(2)$a=[][],\ b=[][]$ならば，$x=2.5$のとき$f(x)$が極小となり，その極小値は$-1$である．
(3)$f^\prime(1.5)=25$ならば，$f(3)=[][]$である．
私立 藤田保健衛生大学 2013年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$f(t)=be^{at}$（$a,\ b$：定数）を微分した答えを$f(t)$を用いて表すと，
\[ \frac{d}{dt}f(t)=[ ] \qquad \cdots\cdots① \]
である．
(2)物体が水平面に対し垂直な方向に落下するものとする．デカルトは時刻$t$での物体の速度について，速度が落下距離に比例するものと考えた．これに従えば，時刻$t$での物体の落下距離を$f(t)$とし，$f(0)=x_0>0$，その比例定数を$c_0>0$とするとき，$①$を満たすような関数が$f(t)=be^{at}$の形で表わされることを用いると$f(t)=[ ]$である．
(3)一方，ガリレオは速度が落下した時間に比例すると考えた．時刻$T$で落下しはじめた物体の，時刻$t (t \geqq T)$での高さを$g(t)$とし，$g(T)=x_1>0$，その比例定数を$c_1>0$とするとき，$g(t)=[ ]$である．
(1)$f(t)=be^{at}$（$a,\ b$：定数）を微分した答えを$f(t)$を用いて表すと，
\[ \frac{d}{dt}f(t)=[ ] \qquad \cdots\cdots① \]
である．
(2)物体が水平面に対し垂直な方向に落下するものとする．デカルトは時刻$t$での物体の速度について，速度が落下距離に比例するものと考えた．これに従えば，時刻$t$での物体の落下距離を$f(t)$とし，$f(0)=x_0>0$，その比例定数を$c_0>0$とするとき，$①$を満たすような関数が$f(t)=be^{at}$の形で表わされることを用いると$f(t)=[ ]$である．
(3)一方，ガリレオは速度が落下した時間に比例すると考えた．時刻$T$で落下しはじめた物体の，時刻$t (t \geqq T)$での高さを$g(t)$とし，$g(T)=x_1>0$，その比例定数を$c_1>0$とするとき，$g(t)=[ ]$である．
私立 東京都市大学 2013年 第2問次の問に答えよ．
(1)$\displaystyle f(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^{100}}{100!}$とおく．$f^\prime(x)$を$f(x)$の導関数とするとき，$99!(f(1)-f^\prime(1))$を求めよ．
(2)放物線$y=2-x^2$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} (x+x^3)\sqrt{1+x^2} \, dx$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle f(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^{100}}{100!}$とおく．$f^\prime(x)$を$f(x)$の導関数とするとき，$99!(f(1)-f^\prime(1))$を求めよ．
(2)放物線$y=2-x^2$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} (x+x^3)\sqrt{1+x^2} \, dx$の値を求めよ．
私立 東京都市大学 2013年 第4問$\log$は自然対数とし，関数$f(x)$を$f(x)=\log (2+\cos x) (-\pi \leqq x \leqq \pi)$とおく．次の問に答えよ．
(1)関数$y=2+\cos x$と$y=\log x$を微分せよ．
(2)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ．
(1)関数$y=2+\cos x$と$y=\log x$を微分せよ．
(2)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ．