以下の$[　]$にあてはまる式または数値を入れよ．
\[ f(x)=\frac{1}{2} \sin^2 x+4 \sin x \cos x+\frac{1}{2} \cos^2 x+\sin x+\cos x \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
の最大値および最小値を次のようにして求める．

まず，$t=\sin x+\cos x$とおくと，$t$の値がとりうる範囲は$[ア]$である．次に，$\sin x \cos x$を$t$の式で表すと$[イ]$である．よって，$f(x)$を$t$の式で表した関数を$g(t)$とすると，$g(t)=[ウ]$となる．
$g(t)$は$[ア]$の範囲で$t=[エ]$のときに最大値$[オ]$をとり，$t=[カ]$のときに最小値$[キ]$をとる．したがって，$f(x)$の最大値は$[オ]$，最小値は$[キ]$である．

以下の$[　]$にあてはまる式または数値を入れよ．

$a$を正の実数とし，$xy$平面上に放物線$C:y=ax^2$とその上の点$\mathrm{P}(p,\ ap^2)$とが与えられている．ただし，$p>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とする．
(1)放物線$C$と$x$軸および直線$x=p$で囲まれた部分の面積を$S_1(p)$とすると，$S_1(p)=[ア]$である．
(2)放物線$C$の$\mathrm{P}$における接線$\ell_1$の方程式は$y=[イ]$である．
(3)$\mathrm{P}$を通り$\ell_1$に垂直な直線$\ell_2$の方程式は$y=[ウ]$であり，$\ell_2$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[エ]$である．
(4)点$\mathrm{R}(0,\ 1)$とする．$\mathrm{OQ}$，$\mathrm{OR}$を$2$辺とする長方形の面積を$S_2(p)$とし，$f(p)=S_1(p)-S_2(p) (p>0)$とおく．関数$f(p)$が極値をもつような$a$の値の範囲は$[オ]$である．
(5)$\displaystyle a=\frac{1}{10}$のとき，$f(p)$の極値を求めて，さらに$f(p)$のグラフを描け．

関数$f(x)=e^x-x$を考える．

(1)$f(x)$の最小値を求めなさい．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸，および$2$直線$x=-1$，$x=1$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めなさい．

次の設問に答えよ．

(1)関数$y=|x^2-1|$のグラフをかけ．
(2)関数$y=|\abs{x^2-1|-3}$のグラフをかき，そのグラフと$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}(x-1)^2+\frac{3}{2} (1 \leqq x \leqq 3)$を考える．

(1)関数$f(x)$の逆関数$f^{-1}(x)$は
\[ f^{-1}(x)=[ア]+\sqrt{[イ]x-[ウ]} \quad \left( \frac{[エ]}{[オ]} \leqq x \leqq \frac{[カ]}{[キ]} \right) \]
である．
(2)不等式$x<f^{-1}(x)$を満たす$x$の値の範囲は
\[ [ク]-\sqrt{[ケ]}<x \leqq \frac{[コ]}{[サ]} \]
である．

関数$f(x)=|x-1| \sqrt{x}$を考える．

(1)関数$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[ク]}{[ケ]}$で極大値$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]} \sqrt{[シ]}$をとり，$x=[ス]$で極小値$[セ]$をとる．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸によって囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ][チ]}$である．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸によって囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ][ト]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}},\ y=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$のとき，
\[ x+y=\sqrt{[ア]},\quad xy=\frac{[イ]}{[ウ]},\quad x^2+y^2=[エ] \]
である．
(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
2x+3 \leqq 4x-7 \\
|x-6|<3
\end{array} \right.$の解は$[オ] \leqq x<[カ]$である．
(3)関数$y=-2x^2+6x-1 (0 \leqq x \leqq 4)$は$\displaystyle x=\frac{[キ]}{[ク]}$で最大値$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$をとり，$x=[サ]$で最小値$[シ][ス]$をとる．
(4)放物線$y=x^2-3x+2$を$x$軸方向に$3$，$y$軸方向に$-2$だけ平行移動してできる曲線は放物線$y=x^2-[セ]x+[ソ][タ]$である．
(5)$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$とする．$\tan \theta=-\sqrt{6}$のとき，$\displaystyle \sin \theta=\frac{\sqrt{[チ][ツ]}}{[テ]}$，$\displaystyle \cos \theta=-\frac{\sqrt{[ト]}}{[ナ]}$である．
(6)$(x^2-1)^{10}$の展開式における$x^4$の係数は$[ア][イ]$である．
(7)赤球$5$個，白球$3$個が入っている袋から$2$個の球を同時に取り出すとき，取り出した球が$2$個とも赤球である確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ][オ]}$であり，取り出した$2$個の球が異なる色である確率は$\displaystyle \frac{[カ][キ]}{[ク][ケ]}$である．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=9$，$\mathrm{CA}=7$であるとき，$\displaystyle \cos A=\frac{[コ][サ]}{[シ]}$である．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ス] \sqrt{[セ]}$である．

関数$\displaystyle f(x)=2(\log_2 \frac{x}{2})(\log_4 \frac{x}{8})+3 (1 \leqq x \leqq 8)$について，$t=\log_2x$とおく．

(1)$t$のとり得る値の範囲は$[ス] \leqq t \leqq [セ]$である．
(2)$f(x)=t^2-[ソ]t+[タ]$である．
(3)関数$f(x)$は$t=[チ]$，すなわち$x=[ツ]$のとき最大値$[テ]$をとり，$t=[ト]$，すなわち$x=[ナ]$のとき最小値$[ニ]$をとる．

関数$\displaystyle f(x)=2x^2+3x+1,\ g(x)=x^2+x+2$に対して，
\[ h(x)=2 \int_1^x f(t) \, dt-3 \int_1^x g(t) \, dt \]
とおく．

(1)$\displaystyle h(x)=\frac{1}{[ケ]}x^3+\frac{[コ]}{[サ]}x^2-4x+\frac{[シ][ス]}{[セ]}$である．

(2)$h(x)$は$x=[ソ][タ]$で極大値$\displaystyle \frac{[チ][ツ][テ]}{[ト]}$をとり，$x=[ナ]$で極小値$[ニ]$をとる．

$a,\ b,\ c$を定数とし，$-1<a<0$とする．$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+c$のグラフが点$(2,\ -4)$と点$(0,\ 2)$を通るとする．さらに，この$2$次関数$y=f(x)$のグラフの頂点の$y$座標が$4$であるとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)$f(x) \geqq -3$となる$x$の値の範囲を求めよ．