実数$t$の関数$\alpha(t),\ \beta(t)$を$\displaystyle \alpha(t)=\frac{e^t+e^{-t}}{2}$，$\displaystyle \beta(t)=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$で定める．実数の定数$p$に対して点$\mathrm{P}(x,\ y)$の$x$座標および$y$座標を，複素数
\[ z=\frac{ip \alpha(t)+\beta(t)}{ip \beta(t)+\alpha(t)} \]
の実部および虚部でそれぞれ与える．ただし$i$は虚数単位とする．

(1)$\{\alpha(t)\}^2-\{\beta(t)\}^2=1$となることを示し，$x,\ y$を$t$の関数として表せ．
(2)点$\mathrm{P}$の$x$座標の$t \to \infty$および$t \to -\infty$のときの極限値をそれぞれ求めよ．
(3)$p \neq 0$のとき，点$\mathrm{P}$の描く曲線を$x$と$y$の関係式で表せ．

関数
\[ y=-3 \sin^2 \theta-\cos^2 \theta-\sqrt{3}\sin 2\theta+2 \sqrt{3}\sin \theta+2 \cos \theta+1 \quad (0 \leqq \theta \leqq \pi) \]
について以下の問いに答えよ．

(1)$t=\sqrt{3}\sin \theta+\cos \theta$とおくとき$t$の動く範囲を求めよ．
(2)関数$y$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$y$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

関数$y=-x^3+x$について以下の問いに答えよ．

(1)極値を求めグラフの概形を描け．
(2)グラフ上の点$\mathrm{P}(t,\ -t^3+t) (t>0)$における接線とグラフとの交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)$(2)$の接線が点$(0,\ 2)$を通るとき線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．

関数$f(x)=x^2e^{-x}$について以下の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の極値を求めグラフの概形を描け（変曲点は求めなくてよい）．

(3)$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\int_1^x (t^2-t-6) \, dt$の極大値を$p$，極小値を$q$とする．$(pq+100)$の値を求めよ．

$2$次関数$y=ax^2+bx+c$について次の問いに答えよ．

(1)この関数のグラフが$3$点$(2,\ 6)$，$\displaystyle \left( -1,\ -\frac{3}{2} \right)$，$\displaystyle \left( -5,\ \frac{5}{2} \right)$を通るとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)この関数のグラフと直線$y=6$との交点の座標を求めよ．

$3$次関数$y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$が$x=p$，$x=q (p \neq q)$において極値をとるとき，$\displaystyle \frac{f(p)-f(q)}{(p-q)^3}=-\frac{a}{2}$となることを示せ．

$2$次関数$y=2x^2-8x+5$について，次の問いに答えよ．

(1)この関数のグラフを$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$q$だけ平行移動すると，グラフの頂点が第$2$象限にくる．このとき，$p,\ q$の値の範囲を求めよ．
(2)$-2 \leqq x \leqq 5$であるとき，この関数の最大値と最小値を求めよ．

$2$次関数$f(x)=-x^2+(2a-3)x-a^2+3a+4$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は実数の定数とする．

(1)関数$f(x)$の最大値を求めよ．また，そのときの$x$の値を$a$を用いて表せ．
(2)$0 \leqq x \leqq 2$における関数$f(x)$の最小値が$4$であるような，$a$の値をすべて求めよ．
(3)$a$が(2)で求めたそれぞれの値をとるとき，$y=f(x)$のグラフを原点に関して対称移動した放物線の方程式を求めよ．ただし，$y=f(x)$の定義域は実数全体とする．

関数$y=f(x)$の定義域は$x \geqq 1$であり，すべての正の整数$n$に対し，

$n \leqq x<n+1$のとき，$f(x)=(-1)^n (x^2-5x)$

が成り立っている．

(1)関数$y=-x^2+5x (1 \leqq x<2)$の値域を求めよ．
(2)$f(a)=-4$であるような実数$a$の値をすべて求めよ．
(3)$1 \leqq x<6$における関数$y=f(x)$の最大値，最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．