下図のように，$1$から順に番号の付いた碁石を並べてつくられた正三角形の列$A_1$，$A_2$，$A_3$，$\cdots$がある．正三角形$A_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の右下隅にある碁石の番号を$a_n$とし，$A_n$中のすべての碁石の番号の和を$S_n$とする．

（例$a_1=3,\ a_2=8,\ a_3=16,\ S_2=4+5+6+7+8+9=39$）
（図は省略）
(1)$a_n$の一般項を求めよ．
(2)$S_n$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^5}\sum_{k=1}^n k \left( S_k-\frac{3}{2}k \right)$を，ある関数の定積分を用いて表し，この極限値を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\tan x,\ g(x)=\frac{4x}{\pi (\pi-2x)}$とする．$xy$平面において，曲線$y=f(x)$ \ $\displaystyle \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$と$y=g(x)$ \ $\displaystyle \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$をそれぞれ$C_1,\ C_2$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$のとき，不等式$f(x)>g(x)$を証明しなさい．
(2)$\displaystyle 0<a<\frac{\pi}{2}$のとき，$2$曲線$C_1,\ C_2$と直線$x=a$で囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．このとき，$\displaystyle \lim_{a \to \frac{\pi}{2}-0}S(a)$を求めなさい．
(3)$m$を実数とし，$2$曲線$C_1,\ C_2$と直線$y=mx+1$で囲まれた図形の面積を$T(m)$とする．このとき，$\displaystyle \lim_{m \to \infty}T(m)$を求めなさい．

硬貨投げをしたとき，表，裏がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で出る硬貨がある．この硬貨を用いて硬貨投げを$n$回繰り返す．$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対し，$k$回目の硬貨投げの結果に応じて$a_k$を次で定める：
\[ a_k=\left\{ \begin{array}{rl}
1 & k \text{回目の硬貨投げの結果が表のとき} \\
-1 & k \text{回目の硬貨投げの結果が裏のとき}
\end{array} \right. \]
また，この$a_k \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$を用いて$n$次式$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^n a_kx^k$で定める．

(1)$n$が偶数のとき，$f(x)$が$x-1$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(2)$n$が$4$の倍数のとき，$f(x)$が$(x-1)(x+1)$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(3)$n$が$2$以上の自然数のとき，$f(2)=2$となる確率を$n$を用いて表せ．

関数$\displaystyle f(x)=-\frac{5}{2}x(x-1)$を考える．$a$を実数とし，実数$b,\ c$を$b=f(a)$，$c=f(b)$により定める．

(1)不等式$a<b$を満たすような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)連立不等式
\[ (*) \quad \left\{ \begin{array}{l}
a<b \\
b>c
\end{array} \right. \]
を満たすような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)(2)の連立不等式$(*)$が成り立つとき，$c$と$f(c)$の大小を判定せよ．

$a$を正の定数とし，$m$を自然数とする．$xy$平面上の$2$曲線$C_1:y=ax^2 \ (x \geqq 0)$，$C_2:y=(\log x)^{m} \ (x \geqq 1)$および点$\mathrm{P}$は次の条件を満たしている．

$C_1$と$C_2$は$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と$\mathrm{P}$における$C_2$の接線は一致する．
(1)$a$の値および$\mathrm{P}$の$x$座標を$m$を用いて表せ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^m}{x^2} \ (x \geqq 1)$の最大値を求め，$x \geqq 1$において不等式$ax^2 \geqq (\log x)^m$が成り立つことを示せ．
(3)自然数$n$に対して，不定積分$\displaystyle \int (\log x)^n \, dx$を$I_n$とおく．$n \geqq 2$のとき，部分積分法により，$I_n$を$I_{n-1}$を用いて表せ．
(4)$m=2$のとき，$C_1,\ C_2$および$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

$x>0$の範囲で関数$f(x)$を，$\displaystyle f(x)=\int_0^2 (|t^2-2xt|+xt) \, dt$により定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$0<x \leqq 1$のとき，$f(x)$を求めよ．
(2)$x$が$x>0$の範囲を動くとき，$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=4x+k$が異なる$2$点で交わるように，定数$k$の値の範囲を定めよ．

関数$f(x)$を$f(x)=x \sin x$とおく．また，曲線$y=f(x)$上の点$(\alpha,\ f(\alpha))$における接線の方程式を$y=g(x)$とおく．$\alpha>0$のとき，以下の問いに答えよ．

(1)$g(x)$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)直線$y=g(x)$が原点を通るような最小の$\alpha$を$\alpha_1$とし，$\alpha=\alpha_1$のときの$g(x)$を$h(x)$とおく．$\alpha_1$の値と$h(x)$を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq \alpha_1$において$h(x) \geqq f(x)$であることを示せ．
(4)$0 \leqq x \leqq \alpha_1$において直線$y=h(x)$と曲線$y=f(x)$で囲まれてできる図形の面積を求めよ．

次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)次の関数を微分せよ．
\[ (ⅰ) y=\frac{x}{e^x} \qquad (ⅱ) y=\log \left( \frac{2+\sin x}{2-\sin x} \right) \]
(2)次の定積分の値を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_0^1 \frac{2x^2-x}{2x+1} \, dx$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}}x \cos (x^2) \, dx$

(iii) $\displaystyle \int_0^1 x^3 \log (x^2+1) \, dx$

\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_{-\pi}^\pi |e^{\cos x|\sin x} \, dx$

$x>0,\ x \neq 1$を定義域とする次の$5$つの関数を考える．
\[ \frac{x^2+1}{2},\quad \frac{2x^2}{x^2+1},\quad x,\quad \left( \frac{x+1}{2} \right)^2,\quad \frac{x^2-1}{2 \log x} \]
このとき，次の問いに答えなさい．

(1)上の$5$つの関数の間に$[1]<[2]<[3]<[4]<[5]$の不等式が成立するとすれば，$[1]$から$[5]$にはどの関数が入るか．$x=2$を代入することによりそれらを決定しなさい．ただし，$\log 2=0.693 \cdots$とする．
(2)$[4]<[5]$の部分の不等式を証明しなさい．
(3)$[2]<[3]$の部分の不等式を証明しなさい．

$x<1$に対して，$f(x)=|x| \log (1-x)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$は$x=0$で微分可能かどうかを調べよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=-x$の交点を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int x \log (1-x) \, dx$を求めよ．
(4)$x \leqq 0$において関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=-x$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．