次の問いに答えよ．

(1)$f(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1})$とする．ただし，対数は自然対数とする．

(i) $f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(ii) 直線$y=x$と直線$\displaystyle x=\frac{3}{4}$および曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

(2)$\displaystyle \alpha=\frac{2}{5}\pi$とする．

(i) $\cos 3\alpha=\cos 2\alpha$が成り立つことを用いて，$\cos \alpha$と$\cos 2\alpha$の値を求めよ．
(ii) $2$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の数の和を$N$とする．このとき，座標平面上の点$\mathrm{P}(1,\ \sqrt{3})$を原点$\mathrm{O}$のまわりに角$N \alpha$だけ回転した点を$\mathrm{Q}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の内積を$T$とする．$T$の期待値を求めよ．

$e$で自然対数の底を表す．関数$f(x)$を
\[ f(x)=\log (x+\sqrt{x^2+e}) \]
で定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$を微分せよ．また$f^\prime(x)$が偶関数であることを示せ．
(2)定積分
\[ \int_{-1}^1 f(x) \cos \left( \frac{\pi}{2}x \right) \, dx \]
を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\int_{-1}^1 x^{2n} f(x) \cos \left( \frac{\pi}{2}x \right) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．$n$を$2$以上とするとき，$a_n$と$a_{n-1}$の間に成り立つ関係式を求めよ．

$y^2=(x-2)^2(x+1)$で決まる曲線を$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)関数$y=(x-2) \sqrt{x+1}$の増減を調べ，関数のグラフの概形をかけ．
(2)曲線$C$の概形をかけ．
(3)曲線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．

$f(x)=\log 2x$とし，曲線$y=f(x)$を$C$とする．曲線$C$と$x$軸との交点における曲線$C$の接線$\ell$の方程式を$y=g(x)$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を求めなさい．
(2)$h(x)=g(x)-f(x) \ (x>0)$とおくと，$h(x) \geqq 0 \ (x>0)$であることを示しなさい．また，$h(x)=0$となる$x$の値を求めなさい．
(3)曲線$C$と直線$\ell$と直線$\displaystyle x=\frac{1}{2}e$で囲まれた部分の面積$S$を求めなさい．

$a,\ b,\ c,\ k$を実数とし，$k>0$とする．$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+c$は$f(0)=9$，$f(-1)=16$をみたす．また，関数$f(x)$について，$x$に関する恒等式
\[ f^\prime(x)=6x-9k-4+\int_0^k f(t) \, dt \]
が成り立つ．ただし，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数とする．

(1)$f(x)$を求めなさい．
(2)$k$の値を求めなさい．

実数全体で定義された関数$f(x)$，$g(x)$を次のように定める．
\[ f(x)=\int_0^{\frac{\pi}{4}} (\tan t-x)^2 \, dt,\quad g(x)=\int_0^{\frac{\pi}{4}} |\tan t-x| \, dt \]

(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan t \, dt$，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 t \, dt$を求めよ．
(2)$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$g(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

$-2 \leqq x \leqq 2$上で関数$f(x),\ g(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}|x|,\quad g(x)=\int_{-2}^x f(t) \, dt \]
によって定める．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$g(x)$を計算し，$y=g(x)$のグラフの概形を描け．
(3)$y=g(x)$の逆関数$y=g^{-1}(x)$を求め，そのグラフの概形を描け．
(4)$\displaystyle \int_0^1 (g^{-1}(x))^2 \, dx$を計算せよ．
(5)$y=g^{-1}(x)$は$\displaystyle x=\frac{1}{2}$で微分可能であることを示せ．

$a$は$a>1$を満たす定数とし，$2$つの関数$f(x)$と$g(x)$を$f(x)=|x^2-a|$，$g(x)=-|x+1|+a$とする．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形を書け．
(2)$y=g(x)$のグラフの概形を書け．
(3)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの交点が$2$個，$3$個，$4$個になるときの$a$の範囲または値をそれぞれ求めよ．

確率変数$X$のとる値の範囲が$0 \leqq X \leqq 2$で，その確率密度関数$f(x)$が次の式で与えられるものとする．
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{k}{a}x & (0 \leqq x \leqq a) \\
\displaystyle\frac{k}{2-a}(2-x) & (a<x \leqq 2)
\end{array} \right. \]
ここで，$a,\ k$は$0<a<1,\ k>0$を満たす定数である．次の各問いに答えよ．

(1)定数$k$の値を求めよ．
(2)$X$の平均（期待値）$E(X)$を$a$を用いて表せ．
(3)$P(X \leqq u)=0.5$となる実数$u$を$a$を用いて表せ．

$xy$平面において，曲線$y=e^x$と$3$直線$y=x+1,\ x=1,\ x=-1$で囲まれた部分を$D$とする．ただし$e$は自然対数の底である．次の各問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=e^x-(x+1)$の増減，極値，凹凸を$-1 \leqq x \leqq 1$の範囲で調べ，増減表にまとめよ．
(2)$D$を図示せよ．
(3)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ．