「関数」について
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国立 帯広畜産大学 2013年 第2問関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^3+ax^2+bx+c$で定義される曲線$y=f(x)$は，$3$点$(0,\ 0)$，$(2,\ 0)$，$(-2,\ 0)$を通る．また，曲線$y=f(x)$を$x$軸方向に$1$だけ移動した曲線を$y=g(x)$とする．ただし，$a,\ b,\ c$は実数とする．次の各問に答えよ．
(1)$a,\ b,\ c$の値を求めなさい．
(2)関数$y=f(x)$の増減表を作り，そのグラフの概形を図示しなさい．
(3)曲線$y=f(x)$と円$x^2+y^2=4$のすべての交点を求めなさい．
(4)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+y^2 \leqq 4 \\
y \geqq f(x) \\
y \geqq g(x)
\end{array} \right. \]
で示される領域を図示し，この領域の面積を求めなさい．
(1)$a,\ b,\ c$の値を求めなさい．
(2)関数$y=f(x)$の増減表を作り，そのグラフの概形を図示しなさい．
(3)曲線$y=f(x)$と円$x^2+y^2=4$のすべての交点を求めなさい．
(4)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+y^2 \leqq 4 \\
y \geqq f(x) \\
y \geqq g(x)
\end{array} \right. \]
で示される領域を図示し，この領域の面積を求めなさい．
国立 佐賀大学 2013年 第4問関数$f(x)=xe^{-2x}$に関して次の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)曲線$y=f(x)$の概形をかけ．必要ならば，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-2x}=0$を使ってよい．
(2)曲線$y=f(x)$の接線のうちで傾きが最小となるものを$\ell$とする．その接線$\ell$の方程式と接点$(a,\ f(a))$を求めよ．
(3)$x<a$において，接線$\ell$は曲線$y=f(x)$より常に上側にあることを証明せよ．ただし，$a$は(2)で求めたものとする．
(4)曲線$y=f(x)$，接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1)曲線$y=f(x)$の概形をかけ．必要ならば，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-2x}=0$を使ってよい．
(2)曲線$y=f(x)$の接線のうちで傾きが最小となるものを$\ell$とする．その接線$\ell$の方程式と接点$(a,\ f(a))$を求めよ．
(3)$x<a$において，接線$\ell$は曲線$y=f(x)$より常に上側にあることを証明せよ．ただし，$a$は(2)で求めたものとする．
(4)曲線$y=f(x)$，接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
国立 九州工業大学 2013年 第3問関数$f(x)=\log x$がある．曲線$y=f(x)$の点$(t,\ \log t)$における接線の方程式を$y=g(x)$とするとき，次に答えよ．ただし，対数は自然対数を表し，$e$は自然対数の底とする．
(1)$x>0$のとき，不等式$f(x)-g(x) \leqq 0$を証明せよ．
(2)$\displaystyle t>\frac{1}{2}$のとき，$\displaystyle \int_{t-\frac{1}{2}}^{t+\frac{1}{2}}f(x) \, dx$と$\displaystyle \int_{t-\frac{1}{2}}^{t+\frac{1}{2}}g(x) \, dx$をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(3)自然数$n$に対して，$n!$と$\displaystyle \sqrt{2} \left( n+\frac{1}{2} \right)^{n+\frac{1}{2}}e^{-n}$の大小を比較せよ．
(1)$x>0$のとき，不等式$f(x)-g(x) \leqq 0$を証明せよ．
(2)$\displaystyle t>\frac{1}{2}$のとき，$\displaystyle \int_{t-\frac{1}{2}}^{t+\frac{1}{2}}f(x) \, dx$と$\displaystyle \int_{t-\frac{1}{2}}^{t+\frac{1}{2}}g(x) \, dx$をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(3)自然数$n$に対して，$n!$と$\displaystyle \sqrt{2} \left( n+\frac{1}{2} \right)^{n+\frac{1}{2}}e^{-n}$の大小を比較せよ．
国立 茨城大学 2013年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$とする．$-1 \leqq \tan x \leqq \sqrt{3}$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$x$が(1)で求めた範囲を動くとき，$f(x)=\sin x+2 \cos x$の最大値と最小値を求めよ．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$とする．$-1 \leqq \tan x \leqq \sqrt{3}$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$x$が(1)で求めた範囲を動くとき，$f(x)=\sin x+2 \cos x$の最大値と最小値を求めよ．
国立 茨城大学 2013年 第4問$a,\ b$を実数として，関数$f(x)=x^3-ax^2+bx+1$について次の各問に答えよ．
(1)微分係数$f^\prime(0)$，$f^\prime(1)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$f(x)$が極大値と極小値をもつための$a,\ b$の条件を求めよ．
(3)$f(x)$が極大値と極小値をもつとき，極大値と極小値の平均が$1$となるための$a,\ b$の条件を求めて，$ab$平面上に図示せよ．
(1)微分係数$f^\prime(0)$，$f^\prime(1)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$f(x)$が極大値と極小値をもつための$a,\ b$の条件を求めよ．
(3)$f(x)$が極大値と極小値をもつとき，極大値と極小値の平均が$1$となるための$a,\ b$の条件を求めて，$ab$平面上に図示せよ．
国立 茨城大学 2013年 第1問以下の各問に答えよ．
(1)関数$f(x)=\log_a (ax)$を微分せよ．ただし，$a>0$かつ$a \neq 1$とする．
(2)関数$\displaystyle g(x)=\int_1^{x^2+1}t^2(t-1)^5 \, dt$を微分せよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{1-x}{1+x} \, dx$を求めよ．
(4)定積分$\displaystyle \int_1^e \frac{\log \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, dx$を求めよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．
(1)関数$f(x)=\log_a (ax)$を微分せよ．ただし，$a>0$かつ$a \neq 1$とする．
(2)関数$\displaystyle g(x)=\int_1^{x^2+1}t^2(t-1)^5 \, dt$を微分せよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{1-x}{1+x} \, dx$を求めよ．
(4)定積分$\displaystyle \int_1^e \frac{\log \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, dx$を求めよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．
国立 茨城大学 2013年 第2問$f(x)=x^3-x+5$として，曲線$y=f(x)$を$C$とする．点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における$C$の接線を$\ell$，法線を$n$とする．以下の各問に答えよ．ただし，点$\mathrm{P}$における$C$の法線とは，点$\mathrm{P}$を通り，かつ点$\mathrm{P}$における$C$の接線に直交する直線のことである．
(1)$\ell,\ n$の方程式をそれぞれ求めよ．
(2)$\ell$と$C$の共有点で，$\mathrm{P}$以外のものの個数を求めよ．
(3)$\displaystyle |a|<\frac{1}{\sqrt{3}}$のときには，$n$と$C$との共有点が$\mathrm{P}$以外にも存在することを示せ．
(1)$\ell,\ n$の方程式をそれぞれ求めよ．
(2)$\ell$と$C$の共有点で，$\mathrm{P}$以外のものの個数を求めよ．
(3)$\displaystyle |a|<\frac{1}{\sqrt{3}}$のときには，$n$と$C$との共有点が$\mathrm{P}$以外にも存在することを示せ．
国立 東京学芸大学 2013年 第4問$x \geqq 0$において連続関数$f(x)$が不等式
\[ f(x) \leqq a+\int_0^x 2tf(t) \, dt \]
をみたしているとする．$g(x)=ae^{x^2}$とするとき，下の問いに答えよ．ただし，$a$は$0$以上の定数である．
(1)等式$\displaystyle g(x)=a+\int_0^x 2tg(t) \, dt$を示せ．
(2)$\displaystyle h(x)=e^{-x^2}\int_0^x 2tf(t) \, dt$とするとき，$x>0$において不等式$h^\prime(x) \leqq 2axe^{-x^2}$が成り立つことを示せ．
(3)$x \geqq 0$において不等式$f(x) \leqq g(x)$が成り立つことを示せ．
\[ f(x) \leqq a+\int_0^x 2tf(t) \, dt \]
をみたしているとする．$g(x)=ae^{x^2}$とするとき，下の問いに答えよ．ただし，$a$は$0$以上の定数である．
(1)等式$\displaystyle g(x)=a+\int_0^x 2tg(t) \, dt$を示せ．
(2)$\displaystyle h(x)=e^{-x^2}\int_0^x 2tf(t) \, dt$とするとき，$x>0$において不等式$h^\prime(x) \leqq 2axe^{-x^2}$が成り立つことを示せ．
(3)$x \geqq 0$において不等式$f(x) \leqq g(x)$が成り立つことを示せ．
国立 電気通信大学 2013年 第1問関数$\displaystyle f(x)=\sin x+\frac{1}{2 \sin x} \ (0<x<\pi)$について以下の問いに答えよ．
(1)$f^\prime(x)=0$となる$x$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．さらに，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．
(3)$0<x<\pi$のとき，
\[ \frac{d}{dx}\{\log (1-\cos x)-\log (1+\cos x)\} \]
を求めよ．
(4)定積分$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3}{4}\pi}f(x) \, dx$を求めよ．
(1)$f^\prime(x)=0$となる$x$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．さらに，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．
(3)$0<x<\pi$のとき，
\[ \frac{d}{dx}\{\log (1-\cos x)-\log (1+\cos x)\} \]
を求めよ．
(4)定積分$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3}{4}\pi}f(x) \, dx$を求めよ．
国立 電気通信大学 2013年 第2問関数$\displaystyle y=\frac{e^x}{e^x+e^{-x}}$について以下の問いに答えよ．
(1)定積分$\displaystyle I=\int_{-1}^1 y \, dx$を求めよ．
以下では，$n$は自然数とする．
(2)$\displaystyle I_n=\frac{1}{n}\int_{-n}^n y \, dx$を求めよ．
(3)$\displaystyle J_n=\frac{1}{n}\int_{-n}^n y(1-y) \, dx$を求めよ．
(4)$\displaystyle K_n=\frac{1}{n}\int_{-n}^n y^2 \, dx$とおくとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}K_n$を求めよ．
(1)定積分$\displaystyle I=\int_{-1}^1 y \, dx$を求めよ．
以下では，$n$は自然数とする．
(2)$\displaystyle I_n=\frac{1}{n}\int_{-n}^n y \, dx$を求めよ．
(3)$\displaystyle J_n=\frac{1}{n}\int_{-n}^n y(1-y) \, dx$を求めよ．
(4)$\displaystyle K_n=\frac{1}{n}\int_{-n}^n y^2 \, dx$とおくとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}K_n$を求めよ．