$f(x)=e^{-x}$とする．実数$t$に対し，原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の点$\mathrm{A}(t,\ f(t))$，点$\mathrm{B}(t-\log 2,\ f(t-\log 2))$を考える．

(1)$t \geqq 0$のとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$の最大値を求めよ．
(2)$k$を自然数とし，$t=k \log 2$であるときの三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$S_k$とする．自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^n S_k$を求めよ．

$f(x)=e^{-x}$とする．$t \geqq 0$に対して，曲線$y=f(x)$上の$2$点$\mathrm{A}(t,\ f(t))$，点$\mathrm{B}(t-\log 2,\ f(t-\log 2))$および原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$S$とする．

(1)$t=0$のとき，$S$を求めよ．
(2)$t \geqq 0$のとき，$S$を$t$を用いて表せ．
(3)$t \geqq 0$のとき，$S$の最大値を求めよ．

$3$次関数$f(x)=x^3-6x+3$について，次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$の増減表を作り，$y$が極大，極小となるグラフ上の点をそれぞれ，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とするとき，それらの点の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{C}$の座標を求め，$\mathrm{C}$が$y=f(x)$のグラフの上にあることを示せ．
(3)$y=f(x)$のグラフは，$(2)$で求めた点$\mathrm{C}$に関して点対称であることを示せ．
(4)$(2)$で求めた点$\mathrm{C}$を通り傾きが$2$の直線と$y=f(x)$のグラフで囲まれた部分の面積を求めよ．

関数$f(x)=x^3e^{-9x}$と実数$a$に対して，次の問いに答えよ．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$-1 \leqq x \leqq 1$の範囲で，$f(x)=a$をみたす実数$x$の個数を求めよ．
(3)$\displaystyle -\frac{5}{3}\pi \leqq \theta \leqq \frac{5}{3}\pi$の範囲で，$f(\cos \theta)=a$をみたす実数$\theta$がちょうど$6$個存在するような$a$の範囲を求めよ．

関数$f(x)=x^4+x^3$について，次の問に答えよ．

(1)この関数のグラフの概形をかけ．
(2)この関数のグラフ上の$3$点$\mathrm{P}(t-1,\ f(t-1))$，$\mathrm{Q}(t,\ f(t))$，$\mathrm{R}(t+1,\ f(t+1))$を頂点とする三角形の面積$S(t)$を$t$の式で表せ．
(3)$S(t)$の最小値を求めよ．

定数$a,\ b$と自然対数の底$e$に対して，$f(x)=(ax+b)e^{-x}$とおく．曲線$y=f(x)$は点$(0,\ 2)$を通り，その点における接線の傾きは$2$であるとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)関数$f(x)$の極値を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$の範囲において，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$a$を正の実数とし，$f(x)=e^{-x}\sin ax$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$n$を自然数とする．曲線$\displaystyle y=f(x) \ \left( \frac{2(n-1)\pi}{a} \leqq x \leqq \frac{2n \pi}{a} \right)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$A_n$で表すとき，$A_n$を$a$と$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle S=\sum_{n=1}^\infty A_n$を$a$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{a \to \infty}S$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=x \log x-x \ (x>0)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．
(2)$a$を正の実数とする．曲線$C:y=\log (x+1)$上の点$(t,\ \log (t+1))$における接線$\ell_t$が，曲線$C_a:y=a \log x$上の点$(s,\ a \log s)$における接線にもなっているとき，$t$と$s$の関係を$a$を含まない式で表せ．
(3)任意に与えられた$t>-1$に対して，直線$\ell_t$が曲線$C_a$の接線にもなっているような$a$が唯一つ存在すること，および$a>1$であることを示せ．
(4)直線$\ell_t$が曲線$C_a$の接線になっているとき，その接点の$x$座標を$s(t)$とかくことにする．$s(t)$を$t$の関数とみて増減を調べ，さらに$\displaystyle \lim_{t \to \infty}(s(t)-t)$を求めよ．

次の$[　]$の中を適当に補いなさい．

(1)実数$x,\ y$が$2x+y=\sqrt{2013}$を満たすとき，$xy$の最大値を求めると$[　]$．

(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=[　]$．

(3)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，関数$y=\sin^3 x+\cos^3 x$の最大値$M$と最小値$m$を$t=\sin x+\cos x$とおいて求めると$(M,\ m)=[　]$．

$a,\ b$を定数とし，$a \neq 0$とする．関数$f(x)=ax^2-4x+b$は，条件
\[ x^2f^{\prime\prime}(x)-xf^\prime(x)+f(x)=x^2+8 \]
を満たすとする．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)直線$\ell$が，放物線$y=x^2$の接線であり，かつ放物線$y=f(x)$の接線でもあるとき，$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$2$つの放物線$y=x^2$と$y=f(x)$，および$(2)$で求めた接線$\ell$で囲まれた部分の面積を求めよ．