「関数」について
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国立 岩手大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$3$次方程式$x^3-3x^2-px-1=0$が$2$重解$\displaystyle -\frac{1}{2}$をもつとき，他の解と実数$p$の値を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$A,\ B,\ C$で表し，辺$\mathrm{BC}$，辺$\mathrm{CA}$，辺$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表すとき
\[ (a \sin A-b \sin B)\cos (A+B)=0 \]
ならば，$\triangle \mathrm{ABC}$はどのような三角形か．
(3)関数$f(x)=ax^r+b \ (x>0)$において，$f(2)=27$，$f(4)=87$，$f(8)=387$を満たすとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(1)$3$次方程式$x^3-3x^2-px-1=0$が$2$重解$\displaystyle -\frac{1}{2}$をもつとき，他の解と実数$p$の値を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$A,\ B,\ C$で表し，辺$\mathrm{BC}$，辺$\mathrm{CA}$，辺$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表すとき
\[ (a \sin A-b \sin B)\cos (A+B)=0 \]
ならば，$\triangle \mathrm{ABC}$はどのような三角形か．
(3)関数$f(x)=ax^r+b \ (x>0)$において，$f(2)=27$，$f(4)=87$，$f(8)=387$を満たすとき，$a,\ b$の値を求めよ．
国立 岩手大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$x>0$のとき，$\displaystyle e^{2x}>\frac{x^2}{2}$となることを示せ．
(2)$A=\left( \begin{array}{cc}
0 & p \\
1 & 0
\end{array} \right)$（$p$は実数）について，$A^4=E$かつ$A^2 \neq E$のとき，$p$の値を求めよ．ただし，$E$は単位行列とする．
(3)関数$f(x)=ax^r+b \ (x>0)$において，$f(2)=27$，$f(4)=87$，$f(8)=387$を満たすとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(4)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(2,\ 2 \sqrt{3})$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$をとる．点$\mathrm{A}$を通り，直線$\mathrm{OA}$に直交する直線上に$\mathrm{OA}=\mathrm{AC}$となる点$\mathrm{C}$をとる．$\angle \mathrm{COB}=\theta$とするとき，$\tan \theta$の値を求めよ．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(1)$x>0$のとき，$\displaystyle e^{2x}>\frac{x^2}{2}$となることを示せ．
(2)$A=\left( \begin{array}{cc}
0 & p \\
1 & 0
\end{array} \right)$（$p$は実数）について，$A^4=E$かつ$A^2 \neq E$のとき，$p$の値を求めよ．ただし，$E$は単位行列とする．
(3)関数$f(x)=ax^r+b \ (x>0)$において，$f(2)=27$，$f(4)=87$，$f(8)=387$を満たすとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(4)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(2,\ 2 \sqrt{3})$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$をとる．点$\mathrm{A}$を通り，直線$\mathrm{OA}$に直交する直線上に$\mathrm{OA}=\mathrm{AC}$となる点$\mathrm{C}$をとる．$\angle \mathrm{COB}=\theta$とするとき，$\tan \theta$の値を求めよ．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
国立 岩手大学 2013年 第5問$y=-x(x-a)$で与えられる放物線$C_1$と関数$y=a-|ax+b|$のグラフ$C_2$が原点で接している．ただし，実数$a$は正とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$a=2$のとき，$C_1$と$C_2$を図示せよ．
(3)(2)において$C_1$と$x$軸で囲まれた図形の面積と，$C_1$と$C_2$によって囲まれた図形の面積の比を求めよ．
(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$a=2$のとき，$C_1$と$C_2$を図示せよ．
(3)(2)において$C_1$と$x$軸で囲まれた図形の面積と，$C_1$と$C_2$によって囲まれた図形の面積の比を求めよ．
国立 岩手大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$3$次方程式$x^3-3x^2-px-1=0$が$2$重解$\displaystyle -\frac{1}{2}$をもつとき，他の解と実数$p$の値を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$A,\ B,\ C$で表し，辺$\mathrm{BC}$，辺$\mathrm{CA}$，辺$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表すとき
\[ (a \sin A-b \sin B)\cos (A+B)=0 \]
ならば，$\triangle \mathrm{ABC}$はどのような三角形か．
(3)関数$f(x)=ax^r+b \ (x>0)$において，$f(2)=27$，$f(4)=87$，$f(8)=387$を満たすとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(1)$3$次方程式$x^3-3x^2-px-1=0$が$2$重解$\displaystyle -\frac{1}{2}$をもつとき，他の解と実数$p$の値を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$A,\ B,\ C$で表し，辺$\mathrm{BC}$，辺$\mathrm{CA}$，辺$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表すとき
\[ (a \sin A-b \sin B)\cos (A+B)=0 \]
ならば，$\triangle \mathrm{ABC}$はどのような三角形か．
(3)関数$f(x)=ax^r+b \ (x>0)$において，$f(2)=27$，$f(4)=87$，$f(8)=387$を満たすとき，$a,\ b$の値を求めよ．
国立 岩手大学 2013年 第5問$y=-x(x-a)$で与えられる放物線$C_1$と関数$y=a-|ax+b|$のグラフ$C_2$が原点で接している．ただし，実数$a$は正とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$a=2$のとき，$C_1$と$C_2$を図示せよ．
(3)(2)において$C_1$と$x$軸で囲まれた図形の面積と，$C_1$と$C_2$によって囲まれた図形の面積の比を求めよ．
(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$a=2$のとき，$C_1$と$C_2$を図示せよ．
(3)(2)において$C_1$と$x$軸で囲まれた図形の面積と，$C_1$と$C_2$によって囲まれた図形の面積の比を求めよ．
国立 宮城教育大学 2013年 第2問関数$f(x)=x^3-3ax$について次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数である．
(1)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)定数$k$が$0<k \leqq \sqrt{a}$の範囲にあるとき，$-k \leqq x \leqq 2k$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(1)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)定数$k$が$0<k \leqq \sqrt{a}$の範囲にあるとき，$-k \leqq x \leqq 2k$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
国立 宮城教育大学 2013年 第4問$x>0$のとき，以下の問いに答えよ．
(1)不等式$2 \sqrt{x}>\log x$を示せ．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{1-\log x}{x^2}$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．ただし，必要があれば，(1)の結果を用いてよい．
(1)不等式$2 \sqrt{x}>\log x$を示せ．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{1-\log x}{x^2}$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．ただし，必要があれば，(1)の結果を用いてよい．
国立 秋田大学 2013年 第3問関数$\displaystyle f(x)=\sin x+\frac{1}{2}\sin 2x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減を調べ，最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)$f(x)$の増減を調べ，最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 秋田大学 2013年 第1問関数$f_n(x) \ (x \geqq 0)$を
\[ f_1(x)=|x-1|,\quad f_{n+1}(x)=|f_n(x)-(n+1)| \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．次の問いに答えよ．
(1)関数$y=f_2(x)$と$y=f_3(x)$のグラフをかけ．
(2)$a_n=f_n(0)$とおく．数列$\{a_n\} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の一般項を求めよ．
(3)$f_n(\alpha)=0$を満たす$\alpha$に対し，
\[ f_{n-i}(\alpha)=in-\frac{i(i-1)}{2} \quad (i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n-1) \]
が成立することを証明せよ．
(4)$f_n(\alpha)=0$を満たす$\alpha$を$n$の式で表せ．
\[ f_1(x)=|x-1|,\quad f_{n+1}(x)=|f_n(x)-(n+1)| \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．次の問いに答えよ．
(1)関数$y=f_2(x)$と$y=f_3(x)$のグラフをかけ．
(2)$a_n=f_n(0)$とおく．数列$\{a_n\} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の一般項を求めよ．
(3)$f_n(\alpha)=0$を満たす$\alpha$に対し，
\[ f_{n-i}(\alpha)=in-\frac{i(i-1)}{2} \quad (i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n-1) \]
が成立することを証明せよ．
(4)$f_n(\alpha)=0$を満たす$\alpha$を$n$の式で表せ．
国立 秋田大学 2013年 第2問$k$を整数とし，$0 \leqq x \leqq \pi$において，
\[ f(x)=e^x \sin \left\{ (4k+1)x \right\},\quad g(x)=e^x \sin x \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$k=2$のとき，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$の共有点の$x$座標を求めよ．
(2)$k=-1$のとき，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)任意の整数$k$に対して，$2$つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$の共有点のうちに，その点におけるそれぞれの曲線の接線が一致するものがあることを示せ．
\[ f(x)=e^x \sin \left\{ (4k+1)x \right\},\quad g(x)=e^x \sin x \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$k=2$のとき，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$の共有点の$x$座標を求めよ．
(2)$k=-1$のとき，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)任意の整数$k$に対して，$2$つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$の共有点のうちに，その点におけるそれぞれの曲線の接線が一致するものがあることを示せ．