「関数」について
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国立 東京大学 2013年 第2問$a$を実数とし，$x>0$で定義された関数$f(x),\ g(x)$を次のように定める．
\[ \begin{array}{l}
f(x)=\displaystyle\frac{\cos x}{x} \\
g(x)=\sin x+ax
\end{array} \]
このとき$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフが$x>0$において共有点をちょうど3つ持つような$a$をすべて求めよ．
\[ \begin{array}{l}
f(x)=\displaystyle\frac{\cos x}{x} \\
g(x)=\sin x+ax
\end{array} \]
このとき$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフが$x>0$において共有点をちょうど3つ持つような$a$をすべて求めよ．
国立 東京大学 2013年 第1問関数$y=x(x-1)(x-3)$のグラフを$C$，原点$\mathrm{O}$を通る傾き$t$の直線を$\ell$とし，$C$と$\ell$が$\mathrm{O}$以外に共有点をもつとする．$C$と$\ell$の共有点を$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とし，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$と$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$の積を$g(t)$とおく．ただし，それらの共有点の$1$つが接点である場合は，$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$のうちの$2$つが一致して，その接点であるとする．関数$g(t)$の増減を調べ，その極値を求めよ．
国立 福岡教育大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)実数$x,\ y$が$(x-2)^2+y^2 \leqq 3$を満たすとき，$\displaystyle \frac{y-7}{x}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)自然数$n$について$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2$が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$\displaystyle y=\sin^2 \theta-\sin \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)実数$x,\ y$が$(x-2)^2+y^2 \leqq 3$を満たすとき，$\displaystyle \frac{y-7}{x}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)自然数$n$について$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2$が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$\displaystyle y=\sin^2 \theta-\sin \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 福岡教育大学 2013年 第4問$f(x)=xe^{-\frac{x}{2}},\ g(x)=\sqrt{e}x$とする．次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$k$を定数とする．$0 \leqq x \leqq 4$の範囲で$f(x)=k$の実数解の個数を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$k$を定数とする．$0 \leqq x \leqq 4$の範囲で$f(x)=k$の実数解の個数を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 福岡教育大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)実数$x,\ y$が$(x-2)^2+y^2 \leqq 3$を満たすとき，$\displaystyle \frac{y-7}{x}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$4$次方程式$x^4+ax^3+14x^2+16x+b=0$が$x=-2$を$2$重解としてもつとき，定数$a,\ b$の値と他の解を求めよ．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$\displaystyle y=\sin^2 \theta-\sin \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)実数$x,\ y$が$(x-2)^2+y^2 \leqq 3$を満たすとき，$\displaystyle \frac{y-7}{x}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$4$次方程式$x^4+ax^3+14x^2+16x+b=0$が$x=-2$を$2$重解としてもつとき，定数$a,\ b$の値と他の解を求めよ．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$\displaystyle y=\sin^2 \theta-\sin \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 福岡教育大学 2013年 第4問$f(x)=xe^{-\frac{x}{2}},\ g(x)=\sqrt{e}x$とする．次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$k$を定数とする．$0 \leqq x \leqq 4$の範囲で$f(x)=k$の実数解の個数を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$k$を定数とする．$0 \leqq x \leqq 4$の範囲で$f(x)=k$の実数解の個数を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 名古屋工業大学 2013年 第1問関数$\displaystyle f(x)=\log (x+1)-\frac{1}{2}\log (x^2+1) \ (x>-1)$について，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減を調べて極値を求めよ．
(2)$k$を実数とする．$x$についての方程式$f(x)=k$の相異なる実数解の個数を調べよ．
(3)曲線$y=f(x)$，$x$軸および直線$x=1$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．
(1)$f(x)$の増減を調べて極値を求めよ．
(2)$k$を実数とする．$x$についての方程式$f(x)=k$の相異なる実数解の個数を調べよ．
(3)曲線$y=f(x)$，$x$軸および直線$x=1$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．
国立 静岡大学 2013年 第4問関数
\[ c(x)=\frac{1}{2}(e^{2x}+e^{-2x}),\quad s(x)=\frac{1}{2}(e^{2x}-e^{-2x}),\quad t(x)=\frac{s(x)}{c(x)} \]
に対して，次の問いに答えよ．
(1)$\{c(x)\}^2-\{s(x)\}^2$を計算せよ．
(2)導関数$c^\prime(x),\ s^\prime(x),\ t^\prime(x)$を，それぞれ$c(x)$または$s(x)$を用いて表せ．
(3)$t(\log \sqrt{2})$と$t(\log \sqrt{3})$の値を求めよ．
(4)定積分$\displaystyle \int_{\log \sqrt{2}}^{\log \sqrt{3}}t(x) \, dx$と$\displaystyle \int_{\log \sqrt{2}}^{\log \sqrt{3}} \{t(x)\}^2 \, dx$を求めよ．
\[ c(x)=\frac{1}{2}(e^{2x}+e^{-2x}),\quad s(x)=\frac{1}{2}(e^{2x}-e^{-2x}),\quad t(x)=\frac{s(x)}{c(x)} \]
に対して，次の問いに答えよ．
(1)$\{c(x)\}^2-\{s(x)\}^2$を計算せよ．
(2)導関数$c^\prime(x),\ s^\prime(x),\ t^\prime(x)$を，それぞれ$c(x)$または$s(x)$を用いて表せ．
(3)$t(\log \sqrt{2})$と$t(\log \sqrt{3})$の値を求めよ．
(4)定積分$\displaystyle \int_{\log \sqrt{2}}^{\log \sqrt{3}}t(x) \, dx$と$\displaystyle \int_{\log \sqrt{2}}^{\log \sqrt{3}} \{t(x)\}^2 \, dx$を求めよ．
国立 静岡大学 2013年 第3問関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^{2x}-e^{-2x}}{e^{2x}+e^{-2x}}$に対して，曲線$y=f(x)$を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$と$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)$，および，$f^{\prime\prime}(x)=0$を満たす$x$の値を求めよ．
(2)曲線$C$の概形をかけ．
(3)曲線$C$について，傾きが$2$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)曲線$C$，(3)で求めた接線$\ell$，直線$x=\log \sqrt{2}$によって囲まれた図形$D$の面積を求めよ．
(5)(4)の図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$と$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)$，および，$f^{\prime\prime}(x)=0$を満たす$x$の値を求めよ．
(2)曲線$C$の概形をかけ．
(3)曲線$C$について，傾きが$2$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)曲線$C$，(3)で求めた接線$\ell$，直線$x=\log \sqrt{2}$によって囲まれた図形$D$の面積を求めよ．
(5)(4)の図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 富山大学 2013年 第1問関数$f(x)=x+2 \sin x$を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$y=f(x) \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．
(2)$0<x<2\pi$において関数$f(x)$が極値をとるときの$x$の値を$\alpha,\ \beta \ (0<\alpha<\beta<2\pi)$とする．曲線$y=f(x)$の$\alpha \leqq x \leqq \beta$の部分と$x$軸，および$2$直線$x=\alpha$，$x=\beta$で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
(1)$y=f(x) \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．
(2)$0<x<2\pi$において関数$f(x)$が極値をとるときの$x$の値を$\alpha,\ \beta \ (0<\alpha<\beta<2\pi)$とする．曲線$y=f(x)$の$\alpha \leqq x \leqq \beta$の部分と$x$軸，および$2$直線$x=\alpha$，$x=\beta$で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．